2015年高考理科数学考点分类自测： 双曲线

2015年高考理科数学考点分类自测：双曲线 一、选择题 1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的 (　　) A．必要但不充分条件　　　　 B．充分但不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 (　　) A. B. C． 2 D．3 4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 · 的最小值为 (　　) A．－2 B．－C．1 D．0 5．设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为 (　　) A. B. C. D．－ 6．已知双曲线mx2－y2＝1(m>0)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为 (　　) A. B．1 C．2 D． 3 二、填空题 7．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_____． 8．已知双曲线kx2－y2＝1(k>0)的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为_____；渐近线方程为_____． 9．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为_____． 三、解答题 10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程． 11．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围． 12．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ＝λ ＋ ，求λ的值． 详解答案 一、选择题1．解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分条件． 答案：A 2．解析：不妨设顶点(a,0)到直线x－3y＝0的距离为1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1. 答案：A 3．解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝＝. 答案：B 4．解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)、F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)， · ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时， · 取得最小值－2. 答案：A 5．解析：由题意可知m－2＝3＋1，解得m＝6. 法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)，F2(0,2)，联立＋＝1与－x2＝1组成方程组，解得P(，)．所以由两点距离公式计算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－. 又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)．F2(0,2)，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝. 答案：B 6．解析：由题意可得，点A的坐标为(，0)，设直线AB的方程为y＝tan 45°(x－)，即x＝y＋，与双曲线方程联立可得，，则(m－1)y2＋2y＝0，解得y＝0或y＝.由题意知y＝为B点的纵坐标，且满足>0，即0