高考专题训练(三十) 概率与统计(解答题) 1．(2014·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示： 发生时间 8：10 8：30 8：50 9：10 9：30 9：50 概率 若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8： 20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素) (1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)求甲、乙二人候车时间相等的概率． 解 (1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下 X 10 30 50 70 90 P X的数学期望E(X)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝(分钟)． (2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 P甲10＝，P甲30＝，P甲50＝； P乙10＝，P乙30＝，P乙50＝×＝. 所以所求概率P＝×＋×＋×＝＝， 即甲、乙二人候车时间相等的概率为. 2．(2014·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 解 (1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P(ξ＝0)＝＝. (2)ξ的可能取值为0，，. 则P(ξ＝0)＝＝，P＝＝，P＝＝. ξ的分布列如下： ξ 0 P E(ξ)＝0×＋×＋×＝. 3．(2014·广州调研)空气质量指数P M2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 从甲城市2014年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示． (1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； (2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望． 解 (1)由茎叶图可知，甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5. 所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10. (2)X的所有可能取值为0,1,2， 因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2014·浙江名校联考)甲、乙两支球 队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)． 解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列． 设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30， 所以Sn＝＝300. 解得n＝－12(舍去)或n＝5， 所以总决赛共比赛了5场． 则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4＝. (2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490. 又P(X＝220)＝2×4＝， P(X＝300)＝C4＝， P(X＝390)＝C5＝， P(X＝490)＝C6＝， 所以X的分布列为 X 220 300 390 490 P 所以X的均值E(X)＝377.5(万元)． 5．自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A－C－D－B，乙线路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵 ... ...
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