第二十一章 一元二次方程 21.2.1配方法 教学设计 一、教学目标 1.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方. 2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 二、教学重难点 1. 教学重点 使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解 用配方法解数字系数的一元二次方程 2. 教学难点 探究的解的情况，培养分类讨论的意识； 原方程如何配方为的形式 三、教学过程 （一）新课导入 问题1 一桶油漆可刷的面积为，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程①，你能求出它的解吗？（老师提问划线问题） 整理，得. 根据平方根的意义，得， 即 可以验证，5和是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为. （二）探索新知 一般地，对于方程（Ⅰ），如何求其根呢？ （1）当时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根； （2）当时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根； （3）当时，因为对认识实数，都有，所以方程（Ⅰ）无实数根. 探究一 对照上面解方程（Ⅰ）的过程，你认为应怎样解方程？ 学生小组讨论，对照开头的问题解答. 在解方程（Ⅰ）时，由方程得.由此想到：由方程② 得， 即，或. ③ 于是，方程的两个根为. 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 探究二 怎样解方程？ 我们已经会解方程.因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程转化为可以直接降次的形式在求解呢？ 解方程的过程见下面的框图： 老师提问：为什么在方程的两边加9？加其他数行吗？ 为了将方程的左边配成完全平方的形式，方程两边必须同时加上一次项系数一半的平方，即，使方程左边化成的形式，再运用直接开平方法求解.加其他数不行. 可以验证，是方程的两个根. 1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边时一个常数的形式，进而用直接开方平法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 例 解下列方程：（1）；（2）；（3）. 分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法. （2）先把方程化为.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2. （3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：（1）移项，得. 配方，得， . 由此可得， . （2）移项，得. 二次项系数化为1，得. 配方，得， . 由此可得，， . （3）移项，得. 二次项系数化为1，得. 配方，得， . 因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. 2.可化为的形式的一元二次方程的根 （1）当，方程，有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对认识实数，都有，所以方程无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边. 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 ， 即. 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 练习 1.用配方法解方程：. 【答案】， 【解析】移项得， 配方得，即， 两边开方，得， 所以，. 2.已知：a是不等式的最小整数解，请用配方法解关于x的方程. 【答案】 【解析】解不等式,得,∴最小整数解为.将代入方程，得，配方，得.直接开平方 ... ...
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