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课件网) 8.3 二项式定理 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 作为计数原理与排列组合的一个应用，二项式定理研究的是 的展开式. 本节我们一起来探索二项式定理的推导过程，研究二项展开式的特征，了解二项展开式的通项公式及二项式系数的性质. 情境导入 二项式定理 8.3.1 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 根据多项式乘法法则， (a+b) =(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a +2ab+b . (a+b) =(a+b)(a+b)(a+b) = a×a×a + a×a×b+ a×b×a+ a×b×b+b×a×a + b×a×b+ b×b×a+ b×b×b =a +3a b+3b a+b . 照这个方法，能否求出 的展开式呢？ 情境导入 典型例题 巩固练习 探索新知 归纳总结 布置作业 首先以(a+b)4为例，分析按多项式乘法展开的规律． (a+b)4 =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). 可以看到， (a+b)4 是4个(a+b)相乘. 根据多项式乘法法则，其结果中的每一项都是由 4个(a+b)中各取一项相乘得到的，均为4 次式.按所含字母a的次数降幂排列为 a4，a3b，a2b2，ab3，b4. 4 个(a+b)中都不选b的选法有 种，得到a4的系数为 种；4 个(a+b)中有1个选b，3个选a的选法有 种,得到a3b的系数为 ；4个(a+b)中有2个选b，2个选a的选法有 种，得到a2b2的系数为 ；4个(a+b)中有3个选b， 1个选a的选法有 种，得到ab3的系数为 ；4个(a+b)中都选b的选法有 种，得到b4的系数为 . 因此 (a+b)4 = . 情境导入 典型例题 巩固练习 探索新知 归纳总结 布置作业 一般地，对于任意实数a、b和任意正整数n，有 上述公式称为二项式定理. 公式右端称为二项展开式，其中 (k∈{0,1,2,…,n})称为二项式系数，式中的第k+1项 称为二项展开式的通项，记作 ，即 . 例1 解 情境导入 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 典型例题 (1) 写出(a+b) 7的展开式； (2) 写出(1+x)n的展开式. (1) 因为 所以 = (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得 . 例2 解 情境导入 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 典型例题 所以，展开式第4项的系数是-560； 例2 解 情境导入 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 典型例题 一个二项展开式中某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念. 求解二项展开式的某项或某项系数相关问题时，通常先化简通项 的表达式，根据题设要求确定k的取值，再代人写出该项. 情境导入 探索新知 巩固练习 归纳总结 布置作业 例题辨析 例3 解 情境导入 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 典型例题 求 的二项展开式的常数项. 的展开式的通项是 依题意得 4-k=0. 解得 k=4. 所以二项展开式中第5项是常数项，为 情境导入 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 二项展开式的项数、各项的次数和二项式系数具有怎样的关系？ 情境导入 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 典型例题 练习 二项式系数的性质 8.3.2 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，…赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？ 情境导入 典型例题 巩固练习 探索新知 归纳总结 布置作业 运用本节学习的二项式系数的性质，能够快速地解决这个问题. 观察表中n取不同值时各二项展开式的二项式系数，你能发现什么规律？ 情境导入 典型例题 巩固练习 探索新知 归纳总结 布置作业 为了方便观察，我们可计算各个组合数. 情境导入 典型例题 巩固练习 探索新知 归纳总结 布置作业 可以看出二项式系数具有如下性质： (1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于 ... ...
