中小学教育资源及组卷应用平台 全等三角形的几何综合 【典例1】（1）方法感悟：如图①，在正方形中，点E、F分别为边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转90°得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为1，则的周长为_____； （2）方法迁移：如图②，若在四边形中，，，E、F分别是 上的点，且，试猜想之间有何数量关系，证明你的结论； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，B、F分别是边延长线上的点，且，试探究线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由） 【思路点拨】 （1）根据题意得，然后根据三角形周长公式即可进行解答； （2）延长到G，使，连接，通过证明，得出对应边相等，转化得出答案即可； （3）在上截取，使，连接．用和（1）相同的证法，可得，则． 【解题过程】 解：（1） ∵， ∴， ∴的周长． （2） 证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ， 在和中， ∵ ， 在和中， ， ， （3）结论：， 证明：如图所示，在上截取，使，连接． ∵在和中， ， ． ， ， ， ， ． 1．（2022秋·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：． （2）若，请直接写出的度数． （3）过点A作于点H，求证：． 【思路点拨】 （1）根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． 【解题过程】 （1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出_____； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【解题过程】 （1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 3．（2022秋·八年级课时练习）已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接 （1）如图，M、N在线段上，求证：； （2）若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？ 【思路点拨】 （1）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决； （2）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决． 【解题过程】 （1）证明：如图，作，交的延长线于G，交于O． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立． 理由：如图，作，交的延长线于G，交于O． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 4．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A ... ...
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