专题07 截长补短证全等（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 截长补短证全等 1．如图，，平分，，，则 ． 2．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 3．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 4．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 5．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 6．如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）； （2）． 7．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 8．如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 9．如图，，点在线段上，、分别是、的角平分线，若，，求的长． 10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 11．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 12．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC （1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度． （2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC （3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 13．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD； （2）求证：AD平分∠CDE； （3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数． 14．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积． 15．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点． 　　　　　 （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 16．（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：． （2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是_____． 17．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，．分别 ... ...