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课件网) 第二讲 空间几何体的表面积与体积 课标要求 考情分析 知道球、柱、锥、 台的表面积和体 积的计算公式， 能用公式解决简 单的实际问题 1.从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考 的必考内容，考查形式可以是直接求几何体的表 面积和体积，也可以是根据几何体的体积、表面 积求某些元素的量. 2.同时要特别注意内切球与外接球相关的计算 问题，全国卷多年都有考查. 3.题型一般为选择题、填空题 几何体 侧面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl 柱、锥、台和球的侧面积和体积 几何体 侧面积 体积 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh (续表) 几何体 侧面积 体积 正棱锥 正棱台 球 S球面＝4πR2 (续表) 【名师点睛】 (1)与体积有关的几个结论 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 ①正方体的棱长为 a，球的半径为 R： a.若球为正方体的外接球，则 2R＝ 考点一 几何体的表面积 [例 1](2022 年济南市调研)如图 6-2-1，四面体的各个面都是边 长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另 一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是( ) 图 6-2-1 解析：如图 6-2-2 所示，过点 P 作 PE⊥平面 ABC，E为垂足， 点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC 于点 D. 图 6-2-2 答案：C 【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积 之和. (3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理. 【变式训练】 1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该 三棱锥的表面积是( ) 答案：A 2.(2022 年南京市质检)如图 6-2-3 所示，在四边形 ABCD 中， ∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，则 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为_____. 图 6-2-3 解析：由题意可得，四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何 体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图 D26，过点 C 作 CE⊥ AD交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F. 图 D26 则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°， EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2， CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3， 故圆台的上底面半径 r＝2， 下底面半径 R＝5，高 h＝4，母线长 l2＝5. 圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2 考点二 几何体的体积 考向 1 多面体的体积 通性通法：求几何体体积的常用方法 [例 2](1)(2021 年全国Ⅱ)已知正四棱台的上、下底面边长分别 为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为( ) 图 6-2-4 答案：D (2)(2022 年天津卷改编)如图 6-2-5，“十字歇山”是由两个直 三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面 ) 是顶角为 120°、腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为( 图 6-2-5 A.23 B.24 C.26 D.27 解析：如图 6-2-6，该几何体由直三棱柱 AFD-BHC 及直三棱 柱DGC-AEB 组成，作HM⊥CB 于点 M.因为 CH＝BH＝3，∠CHB 图 6-2-6 在直棱柱 AFD-BHC 中，AB⊥平面 BHC，则 AB⊥HM， 由 AB∩BC＝B 可得 HM⊥平面 ADCB. 设重叠后的 EG 与 FH 交点为 I， 答案：D 考向 2 旋转体的体积 通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面 积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、 高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解. [例 3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部 ) 分的体积之比是( A.1∶1 C.1∶7 B.1∶6 D.1∶8 解析：如图 6-2-7，设圆锥底面半径 OB＝R，高 PO＝h， 图 6-2-7 答案：C 【考法全练】 1.(考向 2)圆台上、下 ... ...
