专题3.10 圆弧的中点模型- 2023-2024学年九年级上册数学同步课堂+培优题库（浙教版）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题3.10 圆弧的中点模型 模块1：知识梳理 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率 模块2：核心模型与典例 模型1、与垂径定理相关的中点模型 如图，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点O作，证明是等边三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点O作，如图所示， ∵点C是优弧的中点，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵的半径为8，∴，∴， ∴，故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质，涉及到等边三角形的判定和证明，正确作出辅助线是解题的关键． 例2．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ）． A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】如图：连接交点H，由圆周角定理可得为的直径，在中运用勾股定理可得，则半径；然后由点点D为的中点可得，进而得到，在中运用勾股定理可得，进而得到，最后在中，运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，连接交点H ∵即∴为的直径 在中，，则∴ ∵点D为的中点∴∴ 在中，，则∴ 在中，，则．故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理和垂径定理是解答本题的关键． 例3．（2023陕西中考数学试卷）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，，，． 设的半径为，则．在中，， ，，，即的半径为．故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 例4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则． 【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径， ∴，，∴，∵，∴，∵，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 例5．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上的一点，且，①求扇形的面积为 ；②若，则的长是 ． 【答案】 【分析】①利用圆周角定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解； ②延长交于点E，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：①∵，∴， ∵点A是劣弧的中点，∴， ∵半径为，∴扇形的面积为； ②延长交于点E， ∵点A是劣弧的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵半径为，∴，∵是的直径，∴， ∴，∴，故答案为：，． 【点睛】本题考查了含30度角 ... ...