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课件网) 19.4 线段的垂直平分线 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． (二)思维训练要求 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． (三)情感与价值观要求 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学难点 1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？你还可以用什么方法得到线段的垂直平分线？ 情景引入 答：通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段AA′，折纸使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线(如图)，也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线． 画线段AB的垂直平分线l，在l上任意取点P，量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？ 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等． 反过来,若AP=BP，则P在线段AB的垂直平 分线上. 结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点的距离相等的所有点的集合. 探究新知 问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？ 只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了． 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A，B为圆心, 大于 AB长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 过点C,D作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流. 注意： 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点. 合作探究 A B PA=PB P1 P1A=P1B …… 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. P M N C 作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ 例1、已知，如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB,P是MN上 任意一点。求证： 解：∵直线MN经过线段AB的中点O ∴AO=BO 又∵MN⊥AB ∴∠POA=∠POB=90° 在△POA与△POB中 AO=BO ∠POA=∠POB PO=OP ∴△POA≌△POB(SAS） ∴PA=PB ｛ 典例精析 例2、已知: ABC中, C=90 , A=30 , BD平分 ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A B C D 证明: 30 ∵ C=90 , A=30 (已知) ∴ ABC=60 (三角形内角和定理) ∴ A= ABD (等量代换) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.) ∵BD平分 A BC(已知) ∴ ABD=30 (角平分线的定义) ∴ AD=BD(等角对等边) 30 1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴． A B 作法：（1）找出五角星的一对 对应点A和B，连接AB． （2）作出线段AB的垂直平分线n． 则n就是这个五角星的一条对称轴． n 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 巩固练习 2. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. A B C 【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处. 3.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分 ... ...
