中小学教育资源及组卷应用平台 专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型 【模型1】“8字”模型 如图，已知AC与BD相交于点O，连接AD，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；根据三角形两边之和大于第三边，可得。 【模型变式1】 如图已知BD与AC相交于点O，点E在OA上，连接AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。 【模型变式2】 如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。 【模型2】“燕尾”型 如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得 。 【模型变式1】 如图在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于点O。可得： ①： ② ③ 【证明】如图，分别过点B，点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。 在中，； 在和中,；； ∽ 同理可证：； 【例1】如图，，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形外角的性质可得，即可得的度数． 【解析】解：∵， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴ ， ∴． ∴，． 【例2】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：_____； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6②③存在（理由见解析）④存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数． ③和②同理 ④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论． 【解析】(1)解：在中， 在中， （对顶角相等） (2)①解：以M为交点的有1个，即为和 以O为交点的有4个，即为和，和，和，和 ②解：AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ③解：理由如下： AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ④解：理由如下： 由（1）中的结论得： 整理得： 一、单选题 1．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案； 【解析】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【解析】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【解析】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ... ...
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