专题 抛物线 学案（含解析）

专题08抛物线 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 3、抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 4、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 5、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型01抛物线定义的理解】 【题型02利用抛物线定义求方程】 【题型03抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值】 【题型04根据抛物线方程求焦点和准线 】 【题型05抛物线的焦半径公式】 【题型06求抛物线方程 】 【题型07直线与抛物线的位置关系】 【题型08抛物线的弦长】 【题型01抛物线定义的理解】 【典例1】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】4 【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为， 由抛物线定义知. 故答案为：4 【题型02利用抛物线定义求方程】 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 【题型03抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值】 【典例1】（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 【题型04根据抛物线方程求焦点和准线 】 【典例1】（2023春·四川·高二统考期末）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，故焦点为， 故选：B 【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的方程为， 所以抛物线的准线方程是. 故答案为：. 【题型05抛物线的焦半径公式】 【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 【题型06求抛物线方程 】 【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，抛物线的准线方程为， 即其焦点在轴负半轴上，且，得， 故其标准方程为：. 故选：D. 【典例2】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设抛物线的方程为或， 将点代入，可得或， 解得或， 故抛物线的标准方程为或， 故选：C 【题型07直线与抛物线的位置关系】 直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴 ... ...