2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题）专题67：探究型之最值问题（应用平面几何知识）

2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题） 专题67：探究型之最值问题（应用平面几何知识） 江苏泰州鸣午数学工作室 编辑 一、选择题 1. （2014年广西百色3分）已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为【 】 A．（1，﹣1） B．（0，0） C．（1，1） D． 【答案】C． 【考点】1.单动点问题；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.垂线段最短的性质；4.等腰直角三角形的判定和性质；5.圆的认识． 【分析】如答图，过点A作AP与直线y=x垂直，垂足为点P，此时PA最小，则以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小．过点P作PM与x轴垂直，垂足为点M． 在Rt△OAP中，∵∠OPA=90°，∠POA=45°，∴∠OAP=45°. ∴PO=PA. ∵PM⊥x轴于点M，∴OM=MA=OA=1. ∴PM=OM=1. ∴点P的坐标为（1，1）． 故选C． 2．（2014年广西贵港3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是【 】 A． B． C． D． 【答案】C． 【考点】1.双动点问题；2.轴对称的应用（最短路线问题）；3.角平分线的性质；4.勾股定理；5.直角三角形的面积． 【分析】如答图，过点C作CH⊥AB交AB于点H，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PH. 这时PC+PQ有最小值，即CH的长度. ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB=． ∵S△ABC=AB?CH=AC?BC， ∴CH=. ∴PC+PQ的最小值为． 故选C． 3．（2014年贵州安顺3分）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【 】 A. B. C. D. 【答案】A． 【考点】1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.圆周角定理；3. 等腰直角三角形的判定和性质． 【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值： 如答图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′. ∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°. ∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°. 由对称性，∠B′ON=∠BON=30° ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°. ∴△AOB′是等腰直角三角形. ∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=． 故选A． 4．（2014年黑龙江龙东地区3分）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）【 】 A． B． C． D． 【答案】B. 【考点】1.平面展开-最短路径问题；2.圆锥的计算；3.弧长公式；4.勾股定理． 【分析】如答图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图AA′最短， 由题意可得出：OA=OA′=10cm， ∵圆锥体底面圆的直径是5cm，∴圆锥体底面周长为． ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴，解得：n=90°，∴∠AOA′=90°. ∴AA′=. 故选B． 5．（2014年湖北荆门3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为【 】 A. dm B. dm C. dm D. dm 【答案】A． 【考点】1.平面展开（最短路径问题）；2.勾股定理． 【分析】如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的 ... ...