中小学教育资源及组卷应用平台 2024人教版高中数学选择性必修第二册同步 专题强化练6 利用导数研究函数的零点 1.(2023湖南株洲二中月考)已知函数f(x)=+lnx,下列说法正确的是( ) A.函数f(x)有零点 B.当a>1+ln2时,函数y=f(x)-a有两个零点 C.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点 D.函数g(x)=f(x)-x有且只有两个零点 2.(2023江苏南京师范大学附属中学期末)若a为实数,函数f(x)=有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(2023福建漳州期末)已知函数f(x)=2x+lnx+1-a和函数g(x)=x-有相同的零点x0,则ln的值为( ) A.2 B.-e C.-4 D.e2 4.已知函数f(x)=ax-ax(a>1),且f(x)在[1,2]上有两个零点,则a的取值范围为( ) A.(1,2] B.(1,e) C.[2,e) D.(e,e2] 5.(2023福建龙岩上杭一中期中)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),若F(x)=f(x)+f(-x),且F(x)有四个零点,则实数m的取值可以为( ) A.1 B.e C.2e D.3e 6.(2023北京朝阳八十中期中)若函数f(x)=有两个零点,则实数k的取值范围是 . 7.(2023山西晋城期末)已知函数f(x)=x2-x+lnx. (1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围; (2)当a∈[1,e)时,讨论方程f(x)=ax-的根的个数. 8.(2023江苏南京第一中学质检)已知函数f(x)=+a. (1)试讨论函数f(x)的零点个数; (2)设g(x)=x2-f(x),x1,x2为函数g(x)的两个零点,证明:x1x2<1. 答案与分层梯度式解析 专题强化练6 利用导数研究函数的零点 1.BC 2.C 3.C 4.C 5.CD 1.BC 易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-, 令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0
0,所以函数f(x)没有零点,故A错误. 当x→0+时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞, 结合A中分析可知,当a>1+ln2时,函数y=f(x)-a有两个零点,故B正确. 易得g'(x)=-<0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=1>0,g(2)=ln2-1<0,所以函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,故C正确,D错误.故选BC. 2.C 当x≤0时,f(x)=x-ex+2,则f'(x)=1-ex≥0,且f'(x)不恒为零, 所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)≤f(0)=1, 又f(-2)=-e-2<0,所以函数f(x)在(-∞,0]上只有一个零点. 因为函数f(x)有且仅有一个零点,所以函数f(x)在(0,+∞)上无零点,故只需x>0时,f(x)min>0.当x>0时,f(x)=x3-4x+a,则f'(x)=x2-4, 令f'(x)<0,得00,得x>2, 所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以此时f(x)min=f(2)=a->0,解得a>.故选C. 3.C 由题意得f(x0)=2x0+lnx0+1-a=0,g(x0)=x0-=0, 两式联立,得x0-2x0-lnx0-1=0. 令h(x)=xe2x-2x-lnx-1(x>0), 则h'(x)=(1+2x)e2x-. 令m(x)=e2x-,则m(x)在(0,+∞)上单调递增, 又m-4<0,m(1)=e2-1>0, ∴m(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点t,且t∈,即2t=-lnt. ∴当x∈(0,t)时,h'(x)<0;当x∈(t,+∞)时,h'(x)>0, ∴h(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(t)=te2t-2t-lnt-1=1+lnt-lnt-1=0, 又x0-2x0-lnx0-1=0,∴t=x0, ∴ln=e2tlnt2=2e2tlnt=·(-2t)=-4.故选C. 4.C 令f(x)=0,得ax=ax,则xlna=lnx+lna, 令g(x)=xlna-lnx-lna,则g(x)在[1,2]上有两个零点,显然g(1)=0,易得g'(x)=lna-,显然g'(x)在[1,2]上单调递增, 所以lna-1≤g'(x)≤lna-,当lna-1≥0或lna-≤0,即a≥e或10,则函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,则g(x)min=g
