7.1 数列的概念（讲）（含解析）

专题 数列的概念及表示 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． (2)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (4)数列的表示方法有通项公式法(解析式法)　、列表法、图象法、递推公式法. 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．递增数列 an＋1＞an；递减数列 an＋1＜an；常数列 an＋1 ＝an.递增数列与递减数列统称为单调数列． 3．数列前n项和Sn与an的关系 已知Sn，则an＝ 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝； (7)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 注：由上很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为(10n－1)，(10n－1)，…，(10n－1)． 一、 数列的概念 例1、下列有关数列的说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，1与数列1，0，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【答案】D 【解析】A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，是一个集合；根据数列的概念，D是正确的，故选：D. 例2、下列数列中是递增数列的是（ ） A．1，3，5，2，4，6 B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：属于摆动数列；对于B：由可知公差，因此是单调递增数列；对于C：属于单调递减数列；对于D：属于单调递减数列，故选：B． 例3、下列叙述正确的是（ ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【解析】对于A，数列与不是相同的数列，故A错误；对于B，数列可以表示为，故B错误；对于C，数列是摆动数列，故C错误；对于D，数列是递增数列，故D正确. 故选：D. 例4、下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意，故选：C． 例5、已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为 ． 【答案】 【解析】由已知条件得数列的每一项的绝对值成首项为，公差为的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，进而可推断出通项公式为，则；故答案为：. 例6、已知数列－1，，－，…，(－1)n .，…，则它的第5项的值为（ ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【解析】由题设，数列的通项公式为，∴当n＝5时，该项为，故选：D. 1、下列说法中正确的是（ ） A．数列，，，可以表示为 B．数列，，，与，，，是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列与是相同的 【答案】C 【解析】对于A，是一个集合，故A错误；对于B，两 ... ...