2024年七年级数学下册专题8.3 三元一次方程组【七大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

专题8.3 三元一次方程组【七大题型】 【人教版】 【题型1 三元一次方程（组）的解】 1 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 3 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 6 【题型4 构建三元一次方程组解题】 8 【题型5 运用整体思想求值】 10 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 13 【题型7 三元一次方程组的应用】 18 【知识点1 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【题型1 三元一次方程（组）的解】 【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数． 【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8） 其中t=x+y=2的正整数解有1组， t=x+y=3的正整数解有2组， t=x+y=4的正整数解有3组 ……， t=x+y=8的正整数解有7组， 总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算． 【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案 【详解】解：根据题意， 把代入方程组，得， 由①+②+③，得， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程的正整数解是_____． 【答案】 【分析】由，可得出，，又由 均为正整数，分析即可得到正确答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得： 又∵ 均为正整数 ∴满足条件的解有且只有一组，即 故答案为： 【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键． 【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【答案】C 【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案． 【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解； 当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解； 当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解； … 当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解； ∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝＝2001000个 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组的解_____． 【答案】 【分析】利用消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由④⑤得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入③得：， 解得， 则方程组 ... ...