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课件网) 第五章 5.3.2 等比数列的前n项和 课程标准 1.理解等比数列的前n项和公式的推导过程; 2.掌握等比数列的前n项和公式及性质,并能用其解决有关等比数列的问题; 3.熟练掌握等比数列的五个量a1,q,n,an,Sn的关系,并能进行相关的运算. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 目录索引 基础落实·必备知识全过关 知识点1 等比数列的前n项和公式 一般地,设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则 因为an=a1qn-1,所以q≠1时,等比数列前n项和的公式也可改写为 Sn= . na1 过关自诊 [北师大版教材例题](1)已知等比数列{an}中,a1=2,q=3.求S3; 知识点2 等比数列前n项和的常用性质 设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,前n项和为Sn,则等比数列的性质如下: (1)Sk≠0时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列. 过关自诊 [人教A版教材例题改编]等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 ,则公比q= . 重难探究·能力素养全提升 探究点一 等比数列前n项和公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; 解(1)a6=a1q5=3×25=96. (2)∵a4=a1q3,∴64=-q3,∴q=-4, 规律方法 等比数列前n项和公式的应用策略 在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1. 变式训练1在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn. (3)a6-a4=24,a3a5=64,求S8. 探究点二 等比数列前n项和性质的应用 【例2】 (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q= ,项数n= . 2 8 解析 (方法一)∵n为偶数,∴S偶=q·S奇, ∴2n-1=255,∴n=8, 故这个数列的公比为2,项数为8. (方法二)该等比数列的公比为q,n为偶数, 则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2. ∴q=2,n=8,∴这个数列的公比为2,项数为8. (2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30= . 70 解析 (方法一)设数列{an}的首项为a1,公比为q, (方法二)由题可得S10,S20-S10,S30-S20仍成等比数列, 又S10=10,S20=30, 变式训练2[北师大版教材习题]一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.63 D 解析 记等比数列的前n项和为Sn,由题意知(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n=63. 探究点三 特殊数列的求和 【例3】 已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是公比为2的等比数列,且满足a1=b1=1,b2+a2=5. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Sn. 解(1)设数列{an}的公差为d, 由已知,得2+1+d=5,解得d=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)cn=an+bn=2n-1+2n-1.分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列 规律方法 分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式. 变式训练3已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn. 解Sn=a1+a2+a3+…+an=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n) =(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n) 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( ) D 1 2 3 4 5 6 2.已知等比数列{an}的公比q=-2,前6项和S6=21,则a6=( ) A.-32 B.-16 C.16 D.32 D 解析 因为q=-2,S6=21,则有S6= =-21a1=21,即a1=-1, 所以a6=a1q5=(-1)×(-2)5=32. 1 2 3 4 5 6 3.(多 ... ...
