13.4 课题学习 最短路径问题同步练习 （含答案）

13.4课题学习 最短路径问题 【知识重点】 知识点1 最短路径问题 1. 直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时点C就是线段AB与直线l的交点. 2. 直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时先作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C(也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C)，此时点C就是所求作的点. 特别解读 ●直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. ●直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的两点，依据异侧两点的方法找点. 知识点2 建桥选址问题 1. 解决“建桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题. 2. 解决“建桥选址”问题的关键就是要通过平移桥，使除桥外的其他路径平移后在一条直线上. 特别解读 解决连接河两边两地的最短路径问题时，可以通过平移桥的方法转化为求直线异侧两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 【经典例题】 【例1】某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电. 解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型解决. (1)如果居民小区A，B在主干线l的两侧，如图，那么分支点M在什么地方时总线路最短？ (2)如果居民小区A，B在主干线l的同侧，如图13.4-4，那么分支点M在什么地方时总线路最短？ 总结：解决“一线两点”型最短路径问题的方法 当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点. 【例2】如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边 b处饮水，最后回到营地. 请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短. 解题秘方：要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，利用轴对称的性质进行转化. 总结：解决“两线一点”型最短路径问题的方法 分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段. 【例3】如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1上吃草，然后赶羊到河边l2处饮水， 之后再回到B处的家. 假设山娃赶羊所走的路都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置. 解题秘方：要使总路程最短，需要将三条线段想办法转化到一条线段上，可通过两次轴对称构造出最短路线. 总结：解决“两线两点”型最短路径问题的方法 以两线为对称轴，分别作靠近线的点的对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段. 【例4】如图，从A地到B地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 【同步练习】 一、选择题 1．如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(　　) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最 ... ...