*3.4 复数的三角表示 最新课程标准 学科核心素养 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养． 2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养． 教材要点 要点一 i2＝－1的几何意义 将复数z对应的向量绕起点逆时针旋转180°，就是将复数z乘i2. 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转90°. 状元随笔 (1)复数z对应的复平面上的向量与iz对应的复平面上的向量互相垂直． (2)将直角坐标平面上的点P(x，y)逆时针旋转90 °得到的点Q的坐标为(－y ，x)． 要点二 复数的三角表示 1．复数的辐角：以x轴的正半轴为始边，复数z对应的复平面上的向量所在射线为终边的角，叫作复数z的辐角，记作θ＝arg z. 2．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为r，辐角为θ，则复数z＝a＋bi可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，称z＝r(cos θ＋isin θ)为复数z＝a＋bi的三角形式． 状元随笔 (1)若θ为复数z的一个辐角，则arg z ＝θ＋2kπ(k∈Z)． (2)复数z ＝0的辐角是任意的． (3)两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相等的充要条件是r1＝r2＝0或r1＝r2>0且θ1＝θ2＋2kπ(k∈Z)． 要点三 三角形式下复数的乘除运算 1．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 2．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)． 3．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)(r2>0)，则＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]. 状元随笔 (1)两个三角形式的复数的乘积的模等于模的积，乘积的辐角等于它们的辐角之和． (2)复数三角形式的乘方法则，也叫作棣莫弗定理，它是复数中一个重要公式． (3)三角形式的复数的商，其辐角等于它们的辐角之差． 要点四 复数乘法和除法的几何意义 两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的积z1z2对应的向量为：在复平面上，将复数z1对应的向量旋转θ2，再将模变成原来的r2倍而得到的向量. 两个复数相除，商的模等于它们模的商，商的辐角等于它们的辐角之差． 状元随笔 当θ2>0时，将z1对应向量逆时针旋转；当θ2<0时，将z1对应向量顺时针旋转． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在复数z＝r(cos θ＋isin θ)中，r≠0.( ) (2)复数的辐角θ∈[0，2π)．( ) (3)复数z＝2没有三角形式．( ) (4)复数z＝1＋i的三角形式可以为z＝.( ) 2．复数1＋i的辐角的主值为( ) A． B． C． D． 3．将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是( ) A．i B．－i C．－i D．i 4．将复数z＝8化为代数形式为_____． 题型 1 复数的代数形式与三角形式的互化 角度1 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i； (2)i. 方法归纳 复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限，求出辐角． (3)求出复数的三角形式． 提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式的辐角不一定取主值． 角度2 复数的三角形式化为代数形式 例2 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4； (2)(cos 60°＋isin 60°)； (3)2. 方法归纳 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)． 跟踪训练1 (1)复数－i的三角形式是_____． ( ... ...
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