2024北师版高中数学选择性必修第二册同步练习（含解析）--5 数学归纳法

中小学教育资源及组卷应用平台 2024北师版高中数学选择性必修第二册同步 *§5　数学归纳法 基础过关练 题组一　用数学归纳法证明等式 1.(2021黑龙江大庆铁人中学期末)若用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=(n∈N+),则当n=k+1时,等式左边应该在n=k的基础上加上　 (　　) A.k2+1 B.(k+1)2 C.(k+2)2 D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 2.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)时,第一步应验证的等式是　　　　　　. 3.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+). 题组二　用数学归纳法证明不等式 4.(2021河南省实验中学期中)用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设(　　) A.n=k≥2时,2k≥k2 B.n=k≥3时,2k≥k2 C.n=k≥4时,2k≥k2 D.n=k≥5时,2k≥k2 5.(2022河南联考)某同学回答“用数学归纳法证明-1且x≠0,用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n>1时,(1+x)n>1+nx”,第一步应验证的不等式为　　　　. 7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时, f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　. 8.(2022江西抚州七校期末)用数学归纳法证明>对任意n≥n0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应为　　　　. 9.(2023河北唐县一中期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足对任意n∈N+,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=,n∈N+,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N+. 题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 10.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割成的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为 (　　) A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2n C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n-1 11.观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,……,由此猜测第n(n∈N+)个不等式为　　　　　　　　　. 12.(2022山西大同一中月考) 已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an. (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明. 13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2. (1)求证:f(3)-f(2)=; (2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立 并证明你的结论. *§5　数学归纳法 基础过关练 1.D 4.C 5.A 10.B 1.D　当n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2, 当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,在n=k的基础上增加了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D. 2.答案　1-= 解析　因为n∈N+,所以第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=. 3.证明　①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立, 即1+2+3+…+(k+3)=, 则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4)=, 即当n=k+1时,等式也成立. 综上,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+). 4.C　根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C. 5.A　从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求. 6.答案　(1+x)2>1+2x 解析　因为n∈Z且n>1,所以n的初始值为2, 所以第一步应验证的不等式为(1+x)2>1+2x. 易错警示　在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数. 7.答案　++…+ 解析　因为当n=k时, f(2k)=1+++…+, 当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…+++…+, 所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-= ... ...