2.1 和角公式（1） 教学内容：和角公式 教学目标： 1．理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简。 2．学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高。 教学重难点： 重点：两角和与差的正弦公式与余弦公式。 难点：公式的推导和运用。 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 (一) 兴趣导入 如图2-1所示，如果我们想利用两块直角三角形钢板焊接成一块三角形钢板，在已知两个直角三角形钢板的三边长度的前提下，能否利用这些数据，求出新焊接成的三角形钢板中的角的三角函数值呢？即已知角的三角函数值，如何求角的三角函数值，就是我们这一节要学习的内容。 (二) 讲授新课 1、正弦、余弦和角公式的推导 问题1：当 探讨问题： 既然，一般地，有cos()cos + cos, 那么与,的三角函数之间到底存在什么关系呢？ 如图2-2所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角, -和, 它们的终边与单位圆O 的交点分别为A, B, D,则A，B，D的坐标分别为A（cos), sin())。 提出问题， ，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 由两点间的距离公式，得 2 =[cos-cos(-)]2 + [sin-sin(-)]2 =(cos-cos)2 + (sin+ sin)2 =cos2―2coscos+cos2+sin2+ 2sinsin+sin2 =2―2coscos+2sinsin。 2 [cos()-1]2 + [sin() -0]2 =cos2()-2cos()+1 + sin2() =2-2cos ()。 因为=，所以有 2―2coscos+2sin sin =2―2cos()。 于是，我们得到 cos( 这就是两角和的余弦公式，简记为，这个公式给出了任意角的正弦值、余弦值与其和角的余弦值之间的关系，它可以解决引例中的问题。 说明：正弦函数与余弦函数之间可以相互转化。因此，我们有sin()=cos [-()]，这为我们推导两角和的正弦公式提供了有利的工具。 即 sin 这就是两角和的正弦公式，简记为。这个公式给出了任意角的正弦值、余弦值与其和角的正弦值之间的关系。 学习新知，引导学生进行公示推导，增强学生思维能力。 根据余弦公式推导出正弦公式，相互转化，促进理解记忆。 教学环节： 意图 复备 2、推导两角和的正切公式： 根据三角函数基本关系式以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 为了使结果只含和,分子和分母同时除以coscos(coscos0),得 于是，我们得到 这就是两角和的正切公式，简记为。这个公式给出了角的正切值与其和角的正切值之间的关系，但其中的取值应使分母不为零。 例题讲解 例1利用和角公式，求下列三角函数的值。 cos105°；(2)sin75°；(3)tan15°。 分析：显然，105°=45°+ 60°,75°=30°+45°, 15°=60°-45°,因此可以利用相应的和角公式求解。 解:(1) cos 105°=cos(45°+ 60°)=cos45°cos 60-sin 45°sin60°=-= sin75 = sin(30°+ 45°)=sin 30°cos45°+ cos30°sin 45°=+= tan15°= ==2- 例2:已知cos,求()的值。 根据三角函数基本关系式推导正切公式，体会公式推导过程。 巩固新知。 教学环节： 意图 复备 分析：求的值涉及cos,sin,cos，因此需要先求出sin的值。 解：∵（）， ； )- 例3：化简下列各式 (1) cos 40°cos 20°- sin 40°sin 20° (2) sin 59°cos 14°- cos 59°sin 14° (3) 分析：和角公式把的三角函数式转化成了的三角函数式。反之，如果从右向左使用公式，我们就可以将上述三角函数式化简。 解：(1） cos 40°cos 20°- sin 40°sin 20°=cos（40°+ 20°) = cos 60°= (2) sin 59°cos 14°- cos 59°sin 14°= sin(59°-14°) = sin 45°= (3)=tan(23°+22°)=tan45°=1 深入理解 教材P17 练习 课堂小结 学生小结，教师补充： 正弦、余弦和正切两角和公式。 巩固新知，通过例题深入理解。 ... ...
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