4.4 平面向量的内积 教学内容：平面向量的内积 教学目标： 1．掌握平面向量的内积的基本概念，用已知条件求向量的内积． 2．掌握平面向量的内积的基本性质和运算律． 教学重难点： 重点：平面向量的内积的基本概念、基本性质和运算律． 难点：平面向量的内积的基本概念、基本性质和运算律的正确理解． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 如图4-31所示，某人在冰面上用与水平方向夹角为30°斜向上的10 N的拉力F拉一个小冰车，冰车在水平面上移动了2m的距离，根据物理学知识，我们知道力F所做的功W为 这里功W是一个数量,它由向量和的模及其夹角余弦的乘 ( 图4-31 ) 积来确定.由两个向量的模及其夹角余弦的乘积确定一个数量的情况，在其他一些问题中也会遇到，如物理学中的功率P=|| ||cos等. （二）平面向量的内积 若将两个非零向量，设为=,=,则把射线与射线OB所组成的不大于π的角叫做与的夹角，写作<,>.显然0,>,<,>=<,>. 在数学中，我们将两个非零向量,的模与它们的夹角的余弦的乘积叫做与的内积(又叫做数量积)，记作,即 ，即 =|| ||cos(0) 其中，.因此，,也可以表示成 =|| ||cos 注意：两个向量的内积的结果是一个实数，可能是正数，可能是负数，也可能是零. 思考：如果是两个非零向量,那么在什么条件下： 引例导入，解决实际问题，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 （1）>0; (2)<0; (3)=0 （三）例题讲解 例1 已知||=3,||=2, cos=-,求. 解：=|| ||cos =32（-）=-3. 例2 已知||=3 ,||=4, = 6,求. 解：∵=|| ||cos,且||=3，||=4，=6 ∴cos===. 又∵0 ∴=. 向量的内积满足以下运算律，即 =； （+）=+; 设k是实数，则（k）=k（）. 注意：向量的内积运算不满足结合律，即（）≠（）. 例3 已知||=4 ,||=3，=，求（2）（3）. 解：（2）（3） =6+-2 =6||||cos0+||||cos-2||||cos0 =6 =84 （四）向量内积的坐标运算 设向量的坐标为（x1, y1）,向量的坐标为（x2, y2）,即=x1+ y1,=x2+y2. 则=（x1+y1） （x2+y2） =x1 y1+x1 y2+y1 x2+y1 y2 =x1x2（ ）+x1y2（ ）+y1x2（ ）+y1y2（ ） 这里， =1； =0； =1. 即=x1x2+y1y2 就是说，在直角坐标系中，两个向量的内积等于它们的横坐标之积与纵坐标之积的和. 利用向量坐标，可以计算=(x,y)的模，即 ||= 例4 已知=(3,-5), =(-2,4),求. 解：=(3,-5) (-2,4) =3 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 =-26 当两个向量垂直时，其夹角为,这时有 =|| ||cos= 0. 反之，若非零向量,的内积为0,则必然有cos=0,即=. 如果=（x1,y1），=（x2,y2），且均为非零向量，则上述结论可以表述为 例5 判断下列各题中的向量,是否相互垂直: =(2,-3),=(-6,-4)； =(0,-1),=（-1,2）. 解：（1）∵=（2，-3） （-6，-4） =2 =0 ∴垂直 ∵=（0，-1）（-1,2） =0 =-2 ∴不垂直 （五）深入理解 教材P138 习题四 （六）课堂小结 学生小结，教师补充： =|| ||cos ||= 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。 作业： 板书设计： ... ...
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