5.1 椭圆的标准方程和性质 教学内容：椭圆的标准方程和性质 教学目标： 1．理解和掌握椭圆的标准方程和性质． 2．掌握椭圆的几何性质，在习题中灵活运用． 教学重难点： 重点：椭圆的标准方程和性质． 难点：灵活运用椭圆的定义和性质解决问题． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 ( 图5-2 )如图5-2所示，取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板上的两点F1 和F2上(绳子长度大于丨F1F2|），然后用笔尖将细绳绷紧，并使笔尖在图板上慢慢移动一周，画出的轨迹是什么曲线呢？ （二）椭圆的标准方程 引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆. 引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆. 讨论：（1）F1, F2两个点是固定的,还是运动的？笔尖所对应的点呢？ （2）笔尖到绳子两端的距离之和与绳子的长度有怎样的关系？ （3）试验中为什么要有“绳子长度大于丨F1F2丨”这个限制条件？如果取消这个条件，结果会怎样？ 根据上面的讨论，我们得到椭圆的定义： 平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 下面，我们根据椭圆的图形特征，选择适当的坐标系，来求椭圆的方程. 如图5-3所示，以过焦点F1, F2的直线为x轴，线段F1 F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设M （x,y）为椭圆上任意一点，它到两焦点F1和F2的距离之和是定长2a(a>0).设椭圆的焦距是2c(c>0),则F1,F2的坐标分别是(―c,0),(c,o). 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 根据椭圆的定义，点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a. 由两点间距离公式，点M满足的条件可表示为 移项，得 . 两边平方，得 =-4a+. 化简，得 a=-cx. 两边再平方，得. 整理，得（）+=（）. 由椭圆定义可知，2a>2c>0,所以a2>c2,即a2-c2>0. 设a2-c2=b2(b>0)，得+=. 两边同时除以,得+=1. 这个方程叫做椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是2a,两个焦点的坐标是F1(-c ,0),F2(c,0),焦距是2c,这里 c2 =a2-b2 ,即c=. 如图5-5所示，如果椭圆的焦点在y轴上，则焦点的坐标是F1(0,-c), F2(0,c).将焦点在x轴上的椭圆的标准方程中的x和y互换，就可以得到 +=1(a>b>0). 这个方程也是椭圆的标准方程. 无论椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上，下面的式子总是成立的，即+. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 例题讲解 例1 已知椭圆的焦点坐标是F1(-4,0), F2(4,O)，椭圆上任意一点到F1和F2的距离之和是10,求椭圆的标准方程. 解：根据题意可知,c=4, 2a=10, a=5,且椭圆的焦点在x轴上,因为=a2-c2=25-16 = 9,所以椭圆的标准方程为如=1 例2 已知椭圆的标准方程为=1，求出它的焦点坐标. 解：因为a>b>0,根据椭圆的标准方程可知， a2=12,b2=3, 所以c2=a2-b2=12-3=9 ,即c=3. 又因为椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的焦点坐标为（0,-3）,（0,3）. 例3 求焦点在x轴上，a=4,且经过点A(2,)的椭圆的标准方程. 解：因为焦点在x轴上,且a=4,所以设所求椭圆的标准方程为=1. 又因为所求椭圆经过点A（2,）,所以点A的坐标（2,）满足椭圆方程，即=1. 解得=4. 因此，所求椭圆的标准方程为=1. 深入理解 教材P151 练习 椭圆的几何性质 我们知道，解析几何是利用曲线的方程来研究曲线性质的.通过对曲线方程的讨论，了解曲线的形状、大小和位置关系.下面，我们就利用椭圆的标准方程+=1(a>b>0)来研究椭圆的几何性质. 先观察图5-6,你能从图中看出椭圆的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上的哪些点比较特殊？ 巩固新知，通过例 ... ...
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