5.2 双曲线的标准方程和性质 教学内容：双曲线的标准方程和性质 教学目标： 1．理解和掌握双曲线的标准方程和性质． 2．掌握双曲线的几何性质，在习题中灵活运用． 教学重难点： 重点：双曲线的标准方程和性质． 难点：灵活运用双曲线的定义和性质解决问题． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 如图5-14所示，把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两支，将拉开的两头分别固定在F1和F2处，把笔尖放在拉头处，随着拉链的开合，移动笔尖M，可画出一条曲线.再把拉链的长短两端互换，用同样的方法可画出另一条曲线，这两条曲线构成的是什么呢 （二）双曲线的标准方程 引例的试验中画出的这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.双曲线也是一种我们经常见到的曲线，如发电厂通风塔的外部轮廓是双曲线，一些天体运行的轨道等都是双曲线. 从试验的过程，我们不难看出： （1）笔尖不停地移动； （2）F1，F2两点的位置保持不变； （3）动点M到两定点F1和F2的距离之差始终保持不变,等于拉链原长短的长度之差. 根据上面的分析,可以得到双曲线的定义： 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|,且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1和F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距. 下面，我们根据双曲线的几何特征，选择适当的坐标系，求双曲线的方程. 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 如图5-15所示，以过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设点M(x,y)为双曲线上任意一点,它到两焦点F1和F2的距离之差的绝对值是定长2a (a>0).设双曲线的焦距是2c (c>0),则两焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0). 根据双曲线的定义，点M满足的条件为 |MF1|-|MF2|=2a . 由两点间距离公式，点M满足的条件可表示为 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简上式，得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 由双曲线的定义可知，2c>2a>0,所以c2>a2,即c2-a2>0. 设c2-a2=b2 (b>0)，得b2x2-a2y2=a2b2. 两边同除以a2b2,得-=1(a>0,b>0). 这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线的焦点在x轴上,双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是2a,两个焦点的坐标是F1(-c,0),F2 (c,0)，焦距是2c,此处c2=a2+b2 ,即c=. -=1(a>0,b>0)这个方程也是双曲线的标准方程. ( 图5-16 ) 无论双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上, 下面的式子总是成立的，即c2=a2+b2. 例题讲解 例1 已知双曲线的焦点F1(-5,0), F2(5,0),且双曲线上任意一点到它们的距离之差的绝对值是8,求双曲线的标准方程. 解：根据已知，有c=5, 2a=8,a=4,且双曲线的焦点在x轴上. ∴b2=c2-a2=25-16=9. 因此，所求的双曲线的标准方程是-=1 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 例2 已知双曲线的标准方程为-=1,求出它的焦点坐标. 解：根据双曲线的标准方程，可知a2=7,b2=9， 所以c2=a2+b2=7+9=16，即c=4. 又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为（0，-4），（0,4）. 例3 设双曲线的一个焦点是F1(-10,0),且=,求双曲线的标准方程. 解：根据已知条件，有c=10,=,且双曲线的焦点在x轴上. ∴a=6 ,b2=c2-a2=100-36=64. 因此，所求双曲线的标准方程是-=1 双曲线的几何性质 类比讨论椭圆几何性质的方法，研究双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质. （1）范围 由双曲线的标准方程可知，双曲线上任意一点的坐标（x,y），都适合不等式即,， 所以,x-a或x. 这说明，双曲线位于直线x=-a和x=a的外侧，其中还 ... ...
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