7.3　复数的三角形式 教案 中职数学《语文出版社》拓展模块一（表格式）

7.3　复数的三角形式 教学内容：复数的三角形式 教学目标： 1．通过实例，理解和掌握复数的三角形式． 2．培养学生的推理及运算能力． 教学重难点： 重点：理解复数的三角形式． 难点：掌握复数的三角形式的运算． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 经过人们长期的探索发现，应用复数的相关知识去解决许多物理学中的问题十分有效.本节介绍的复数三角形式，为复数的乘、除运算及其实际应用提供了方便. （二）复数的三角形式的概念 设复数z=a+bi的模为r,辐角为由图7-9可以看出， 所以a+bi=+=r(cos+isin). 其中，r=,sin.所在的象限就是与复数z=a+bi对应的点Z(a,b）所在的象限. 我们把r(cos+isin)叫做复数的三角形式. 注意：复数的三角形式r(cos+isin)必须满足三个条件: 模r>0; 实部为rcos,虚部为rsin； cos与isin之间用“+”连接. 复数的代数形式与三角形式可以互相转化，运算时可根据需要，选择合适的形式. （三）例题讲解 例1 用三角形式表示下列复数. -1+；(2)-2-2i；(3)1；(4)i. 分析：把复数的代数形式转化为三角形式的关键是求出复数的模和辐角. 解：(1)∵a=-1,b=, ∴r==2. ∵点(-1,)在第二象限，tan=-, 为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 ∴=， ∴-1+=2（cos,isin）. (2)∵a=-2,b=-2, ∴r=2. ∵点(-2,-2)在第三象限，tan=1, ∴= ∴-2-2i=2(cos,isin). (3)∵a=1,b=0, ∴r=1. ∵点(1,0)在x轴的正半轴上, ∴=0, ∴1=cos0+isin0. (4)∵a=0，b=1， ∴r=1. ∵点(0,1)在y轴的正半轴上, ∴=， ∴i=cos+isin 例2 把复数2(cos+isin)用代数形式表示. 分析：把复数的三角形式化为代数形式只需把的正弦值、余弦值求出来，代入计算即可. 解：2(cos+ isin)=2=-+i （四）复数的三角形式的运算 利用复数的三角形式进行复数的乘法、乘方和除法预算都比较方便. 复数的三角形式的乘法. 设有两个复数z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2),那么 z1 z2=r1(cos1+isin1) r2(cos2+isin2) =r1r2[(cos1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)] =r1r2[(cos(1+2))+isin(1+2)]. 即z1 z2=r1r2[(cos(1+2))+isin(1+2)]. 这就是说，两个复数z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2) 相乘，积的模r等于两个复数的模的积r1r2, 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 积的辐角等于两个复数的辐角的和1+2. （五）例题讲解 例3 计算下列各题. (cos2°+isin2°) (cos3°+isin3°)； (cos+isin) (cos+isin). 解：(1)原式= [cos(2°+3°)+isin(2°+30)] =(cos5°+isin5°)； 原式= [cos(+)+isin(+)] =(cos+isin)=i. 说明：两个复数相乘，如果积的辐角为特殊角，则结果应化成代数形式. 两个复数的乘法法则可以推广到n个复数相乘的情况，设：z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),…,zn=rn(cosn+isinn),则z1 z2. … zn =r1r2…rn[(cos1+2+…+n)+isin(cos1+2+…+n)].当z1=z2=…=zn时，r1=r2=…=rn=r,1=2=…=n=,于是得到 这就是复数的三角形式的乘方，复数z=r(）的n次等的模等于这个复数的模r的n次等，n次等的辐角等于这个复数辐角的n倍.这就是著名的棣莫弗定理. 例4 计算：（1+i）6. 分析：计算复数的乘方时，一般是把复数用三角形式表示，然后利用棣莫弗定理进行计算. 解：（1+i）6=[2(cos+isin）]6 =26(cos+isin)=64. （2）复数的三角形式的除法 下面我们来讨论复数三角形式的除法.设有两个复数z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),则根据复数的除法法则，有 = = =-)+isin(-)]. 所以=-)+isin(-)]. 这就是说，两个复数z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2）相除，商的模r等于被除数的模除以除数的模所 ... ...