6.1平面向量及其线性计算 同步练习（含解析）

6.1平面向量及其线性计算 同步练习 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知点是的重心，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是的重心，若，则（ ） A．1 B． C． D． 3．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 4．如图所示，在中，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ） A．8 B．12 C．32 D．16 6．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ） A． B． C． D． 7．边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，集合，其中，则（ ） A． B． C．若，则为钝角 D．若，则 二、多选题 9．在正六边形中，（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．已知向量，下列结论正确的是（ ） A．若与垂直，则为定值 B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数 C．若与垂直，则为定值 D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数 11．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 12．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 三、填空题 13．已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为 ． 14．如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ． 15．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空) 16．如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则 ；求的最小值为 . 四、解答题 17．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向． 18．如图，点D是中BC边的中点，，. (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 19．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 20．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中： (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 1．D 【分析】由点是的重心，则，有，可得结果. 【详解】点是的重心，则有，所以， 所以. 故选：D． 2．B 【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解. 【详解】连接并延长交于，如图， 因为是的重心，则是的中点， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故选：B. 3．B 【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件. 【详解】因为，所以点是的重心， 所以. 因为，所以， 综上，. 因为，所以三点共线，则，即. 因为均为正数，所以，则， 所以（当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 故选：B 4．A 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 5．C 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 6．A 【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题； 命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则 ... ...