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课件网) 第五单元 圆锥曲线 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 情境引入 对称性是数学美的最重要的特征. 亚里士多德说过：“对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，是其运动、变化和发展的规律之一”. 在设计图标、建筑外观的时候，通常会考虑到图案、建筑物整体的对称性. 如下图所示的中国一汽的车标、国家歌剧院与水面形成的倒影都呈椭圆的形状. 那么我们如何画出椭圆呢？ 概念形成 取一条一定长度的线绳、两枚图钉、一支笔和一小块木板，按照下面的步骤画一个椭圆. (1)将线绳的两端固定在木板的两点F1和F2，并使线绳的长大于F1和F2的距离. (2)用笔尖把线绳拉紧，让线绳保持拉紧状态，笔尖在木板上慢慢移动一周，观察画出的图形. 椭圆图像的绘制 概念形成 平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点的距离 叫作椭圆的焦距. 椭圆的定义 的关系 轨迹描述 椭圆 线段 无轨迹 概念形成 以过焦点F1，F2的直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. 椭圆的定义 设M (x,y)为椭圆上的任意一点，点M 到两个定点F1，F2的距离之和为定长2a(a>0)，设椭圆的焦距为2c(c>0)，则F1，F2两个定点的坐标分别为(-c,0)和(c,0). 由椭圆定义，得 根据两点间的距离公式，分别代入点M 及两定点F1，F2的坐标 概念形成 以过焦点F1，F2的直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. 椭圆的定义 移项： 两边平方： 整理得： 两边平方，整理得： 概念形成 以过焦点F1，F2的直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. 椭圆的定义 两边平方，整理得： 由椭圆的定义可知， 即： 等式两边同除以b2： （椭圆的标准方程） 这个方程表示的是：焦点在 x 轴上的椭圆，其中焦点坐标为F1 (-c,0)，F2 (c,0). 概念形成 除了焦点F1，F2的在 x 轴上，也可以在 y 轴上，如下图所示. 椭圆的定义 已知焦点F1，F2在 y 轴上，则焦点坐标分别为F1(0,-c)和F2 (0, c). 那么焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为： 概念形成 椭圆的定义 焦点位置 椭圆的标准方程 () 图像 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 在代数形式上也体现出了数学的对称美 如何根据椭圆的标准方程 来判断焦点位置？ 例题分析 例1. 已知椭圆的两焦点坐标分别是F1(-6,0)，F2 (6,0)，椭圆上的点到焦点F1，F2的距离和是20，求此椭圆的标准方程. 例题分析 例2. 求椭圆 的焦点坐标和焦距. 巩固练习 1.设F1，F2为定点， ，动点 M 满足 ，则动点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 2.椭圆 的焦距为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 巩固练习 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）a=3，b=1，焦点在 x 轴上； （2）a=5， ，焦点在 y 轴上； 课堂小结 焦点位置 椭圆的标准方程 () 图像 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 谢谢大家！ ... ...
