（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步分层训练（培优卷）

（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步分层训练（培优卷） 一、选择题 1．（2023七下·南岗期末）如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，G为EF的中点，若PE=3，PF=6，则S△PED：S△PDG=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：作PL⊥EF于点L，DM⊥PE于点L，DN⊥PF于点L，如图所示， ∵AD是的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵ ， ， ∴∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD， ∴∠EPD=∠FPD， ∴DM=DN， ， ∵PE=3，PF=6， ∴， 设DE=m，则DF=2m，EF=3m， ∵G是EF的中点， ∴， ∴， ， 即； 故答案为：A. 【分析】分别作ED，PE，PF边的高线，由角平分线的性质得DM=DN，再由三角形的面积公式得出 S△PED：S△PDG =PE：PF，再将DE，DF，EF，EG，EG，DG分别用含m的式子表示，即可求得，即可计算结果. 2．（2022八下·乾县期末）如图，AD是的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分∠ABF；②；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图，过D点作DG⊥AB于G， ①∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE＝DG， 又∵DE＝DF， ∴DF＝DG， ∵BF∥AC，DE⊥AC， ∴DF⊥BF， ∴BC平分∠ABF， ∴①说法符合题意； ②∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠BAC的度数不确定， ∴∠DEC不一定等于∠BAC， ∴EF与AB不一定平行， ∴②说法不符合题意； ③∵AC∥BF， ∴∠C＝∠DBF， 由①可知：BC平分∠ABF， ∴∠DBF＝∠ABD， ∴∠C＝∠ABD， ∴AB＝AC， 又∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴③说法符合题意； ④∵DE=DG，AD=DA， ∴Rt△ADG≌Rt△ADE（HL）， ∴AG＝AE， 又∵DG=DF，BD=DB， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）， ∴BG＝BF， ∴AB＝AG+BG＝AE+BF， 又∵AE＝2BF， ∴AB＝2BF+BF＝3BF， ∴④说法符合题意， ∴正确的结论有：①③④. 故答案为：C. 【分析】如图，过D点作DG⊥AB于G，由角平分线的性质得DE＝DG，则DF＝DG，再由平行线的性质证得DF⊥BF，根据角平分线的判定定理可对①说法进行判断；由于∠BAC的度数不确定，无法对∠DEC和∠BAC数量关系作出判断，则无法对②说法中EF与AB平行关系进行判断；易得∠C＝∠ABD，从而得AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可对③进行判断；证出Rt△ADG≌Rt△ADE，得AG＝AE，证出Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG＝BF，再通过线段的等量关系代换得AB＝3BF，从而可对④进行判断． 3．（2023八下·渠县期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（　　） A．的值不变 B． C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则∠PFN=∠PEM=90°， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB ∴PE=PF， ∵+=180°， ∴∠PMO+∠PNO=180°， ∵∠PNO+∠PNF=180°， ∴∠PMO=∠PNF， ∴△PME≌△PNF（AAS）， ∴OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF， ∴OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，故A正确； ∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，故D正确； ∵PM=PN， ∴在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，故C错误； 在△PMN中，PM=PN， ∴∠PNM=（180°-∠MPN）， 在四边形MONP中，+= ... ...