（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 同步分层训练（培优卷）

（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 同步分层训练（培优卷） 一、选择题 1．（2022九上·宁波期中）如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（　　） A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1 【答案】B 【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，如下图： ∵ ∴ ∵ ， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ∵G为BF的中点， ∴ ∵AB为圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)， ∴， ∴AD的最大值为：. 故答案为：B. 【分析】取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，根据等边三角形的性质得到，进而证明再根据勾股定理求出AF和AG的长，最后根据AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，求出AD的最大值. 2．（2022九上·安徽开学考）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（　　） A．若点是的中点，则 B．若，则 C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形 【答案】D 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【解析】【解答】解：A：若点是的中点，则，真命题，依据同圆或等圆中，等弧对等弦； B：若，则，真命题，因为同垂直于一条直线的两条线平行，两直线平行，同位角相等； C：若，则，真命题，直径所对圆周角是直角，等腰三角形底边高也是底边中线； D：若半径平分弦，则四边形是平行四边形，假命题，只能证明不足以证明是平行四边形。 故答案为：D 【分析】在了解圆的相关性质定理基础上，可以用排除法找到答案。 3．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（　　） A．5 B．18 C．3 D．17 【答案】C 【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH， ∴OE＝AG， ∴点E在以AG为直径的圆上， ∵DF∥AE， ∴弧AD＝弧EH， ∴AD＝EH， ∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a， ∴AC＝a，CB＝a， ∴AD＝DB＝a， ∴HE＝AD＝a， ∵EF＝DC＝a， ∴HF＝＝＝a， ∵BE＝b，BE垂直于FG， ∴EG＝b， ∴FG＝EF+EG＝a+b， ∴HG＝＝ ， 又∵a＝9，b＝6， ∴HG＝＝. 故答案为：C． 【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解. 4．（2022九上·顺庆月考）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】矩形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：∵矩形ABCD， ∴AD=BC，CD∥AB，∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB=∠DEA=∠DAB=45°， ∴DA=DE， ∴DE=BC，故① ... ...