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课件网) 第2章 常用逻辑用语 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 一、命题真假与推出关系 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立 符号表示 _____ _____ 读法 p推出q p不能推出q 传递性 如果 p q，q s，那么 _____ p q p q p s 例如： (1) x＝y x2＝y2，但 x2＝y2 x＝y； (2) x＞1 x2＞1，但 x2＞1 x＞1； 这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；“S△ABC”表示“△ABC的面积”. (3) △ABC ≌ △A′B′C′ S△ABC＝ S△A′B′C′， 但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ △ABC ≌ △A′B′C′. ● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系 分析(1)(2)(3)，可以发现，“p q”的含义是：一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 对 q 的成立是充分的. 也可以这样说：如果 q 不成立，那么力一定不成立.即g 对的成立是必要的. 二、充分条件、必要条件 推出关系 p q 条件关系 p是q的_____条件， q是p的_____条件. 充分 必要 例 1 下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些 解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件. (1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形. 解：因为p q，所以 p 不是 q 的充分条件. (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分. 解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件. 解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件. 例 2 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些 (1) p：∣x∣＝1，q：x＝1； (2) p：两个直角三角形全等， q：两个直角三角形的斜边相等； 解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q p，所以 p 不是 q 的必要条件. (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分 解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件. 观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以发现，其中既有 p q，也有q p. 三、充要条件 定 义 推出关系 p q，且 q p，记作_____称为“p与q等价”或“p等价于q”. 条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件 p q 本 质 p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立. 应 用 充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容. “ ”和“ ”都具有传递性，即 如果 p q，q s，那么 p s； 如果 p q，q s，那么 p s. 【思考】 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类 提示：① 充分必要条件(充要条件)，即 p q且q p. ② 充分不必要条件，即p q且q p. ③ 必要不充分条件，即p q且q p. ④ 既不充分又不必要条件，即p q且q p. 例 3 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件： (1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等； 解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以 p q. 反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等. 例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等. 所以 q p. 因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形； 解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以 p q. 反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等. 所以 q p. 因此，p q，即p是q的充要条件. (3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b； 解：a2－b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a－b＝0或 a＋b＝0 a＝－b或a＝b， 所以 p q. 反过来，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a2－b2＝0 a2＝b2， 所以 q p. 因此，q p ... ...
