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课件网) 第6章 幂函数指数函数和对数函数 6 . 1 幂函数 试考察下列问题： (1) 正方体的边长为x，体积为 y，则 y＝x3. (2) 若某放射性物质每经过 1 年,其剩留量是原来的x倍，则质量为 1的这种物质经过 100 年后，其剩留量应为 C＝x100. (3) 如果某人驾车在 t s 内行进了1km，那么该车的平均速度为 v＝t－1 km/s. ● 函数 y＝x3，C＝x100，v＝t－1具有什么共同特征 这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数，这样的函数称为幂函数. 一、幂函数的概念 一般地，我们把形如 _____ 的函数称为幂函数，其中 _____ 是自变量，_____是常数. y＝xα x α 下面我们结合第 5 章讨论的函数的基本内容，如函数的定义域值域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质. 二、常见幂函数的图象与性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R _____ _____ 值域 R _____ R _____ _____ 奇偶性 ___函数 ___函数 ___函数 ___函数 _____ 函数 {x|x≠0} [0，+∞) [0，+∞) {y|y≠0} [0，+∞) 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 增区间 __ _____ __ 无 _____ 减区间 无 _____ 无 _____ _____ 无 定点 _____ R [0，+∞) R [0，+∞) (－∞，0) (－∞，0)， (0，+∞) (1，1) (1) 本质： 幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的. (2) 应用：①求定义域； ②求值域； ③比较大小； ④求单调区间. 【思考】 在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性 提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα 是增函数；当 α＜0 时，y＝xα 是减函数. 例 1 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： 解：函数 y＝x3 的定义城是 R . 因为对任意的x∈R，－x∈R， 且都有(－x)3＝(－1)3x3＝－x3， 所以由奇函数的定义知，函数 y＝x3 是奇函数. (1) y＝x3； (2) y＝x ； 解：函数y＝x 即 y＝，其定义域是[0，＋∞). 因为当x∈(0，＋∞)时， －x (0，＋∞)， 所以由奇函数、偶函数的定义可知， 函数 y＝x 既不是函数，也不是偶函数. (3) y＝x－2. 解：由函数 y＝x－2 即 y＝ 可知 x≠0， 所以此函数的定义城是(－∞ ，0)∪(0，＋∞). 因为对任意的 x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0， 且(－x)－2 ＝(－1)－2·x－2＝－2， 所以由偶函数的定义知，函数 y＝x－2是偶函数. 思 考 函数 y＝x3，y＝x ，y＝x－2的单调性如何 在同一坐标系内画出幂函数y＝x2，y＝x3，y＝x 的图象，如图6-1-1所示 观察图象，可以发现这 3 个函数有如下共同特性： (1) 函数的图象都过点(0，0)和(1，1)； (2) 在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数. 一般地，对于函数 y＝xα，当α＞0 时，也具有上述两条性质. 例 2 试比较下列各组数的大小： (1) 1.13，0.893； 解：因为函数 y＝x3 在区间[0，＋∞)上是增函数， 又1.1＞0.89， 所以 1.13＞0.893. (2) 2.1 ，2 ，1.8 ； 解：因为函数 y＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数， 又 2.1＞2＞1.8， 所以 2.1 ＞2 ＞1.8 . (3) ()1.3，1.3 . 解：因为函数 y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数， 又 1＝11.3， ＜1，所以()1.3＜11.3＝1. 因为函数，y＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数， 又1 ＝1，3＞1， 所以 3 ＞1 ＝1. 于是()1.3＜1＜3 . 在同一坐标系内画出幂函数 y＝x－1，y＝x－3，y＝x 的图象，如图 6-1-2 所示. － 观察图象，可以发现，这 3 个函数有如下共同特性： (1) 函数的图象都过点(1，1)； (2) 在第一象限内，函数的图象随 的增大而下降函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 一般地，对于函数 y＝xα，当α＜0时，也具有上述两条性质. 1. 辨析记忆(对 ... ...
