第十一章 立体几何初步 练习 一、单选题 1.如图,在长方体中,,,,E F分别为棱 的中点.动点P在长方体的表面上,且,则点P的轨迹的长度为( ) A. B. C. D. 2.已知直线平面,则经过且和垂直的平面( ) A.有一个 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 3.在正四棱台中,,且三棱锥的体积为,则该正四棱台的体积为( ) A. B. C. D. 4.某几何体的三视图如图所示,该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得,则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为( ) A. B. C. D. 5.如图1,在边长为2的正方形中,,分别是,的中点,将,,分别沿,,折起,使重合于点,得到如图2所示的三棱锥,有下列判断:①平面;②在面的射影为的垂心;③三棱锥的外接球体积为;④二面角的余弦值为.其中正确的个数是( ) A. B. C. D. 6.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶1 000的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A.4 cm,1 cm,2 cm,1,6 cm B.4 cm,0,5 cm,2 cm,0,8 cm C.4 cm,0,5 cm,2 cm,1,6 cm D.2 cm,0,25 cm,1 cm,0,8 cm 7.点、在以为直径的球的表面上,且,,已知球的表面积是,下列说法中正确的个数是( ) ①平面;②平面平面;③. A. B. C. D. 8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,,E,F分别是PA,AB的中点,,,,则球的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知四面体的所有棱长均为,则下列结论正确的是( ) A.异面直线与所成角为 B.点到平面的距离为 C.四面体的外接球体积为 D.四面体的内切球表面积为 10.如图所示,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,是正三角形,为线段的中点,点为底面内的动点,则下列结论正确的是( ) A.当时,平面平面 B.当为的中点时,平面 C.当直线和异面时,点不可能为底面的中心 D.当平面平面,且点为底面的中心时, 11.已知圆锥顶点为S,高为1,底面圆的直径长为.若为底面圆周上不同于的任意一点,则下列说法中正确的是( ) A.圆锥的侧面积为 B.面积的最大值为 C.圆锥的外接球的表面积为 D.若,为线段上的动点,则的最小值为 12.在棱长为的正方体中,为的中点,为四边形内一点(包含边界),若平面,则下列结论正确的是( ) A. B.三棱锥的体积为定值 C.线段长度的最小值为 D.的最小值是 三、填空题 13.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切,设球与圆台的表面积分别为,,体积分别为,,若,则 . 14.如图,在三棱柱中,底面,,,是的中点,则直线与所成角的余弦值为 . 15.在长方体中,已知棱长,体对角线,两异面直线与所成的角为,则该长方体的表面积是 . 16.为三条不重合的直线,为三个不重合的平面,现给出下面六个命题: ①若,则; ②若,则; ③若,则; ④若,则; ⑤若,则; ⑥若,则. 其中真命题是 (填序号). 四、解答题 17.如图所示,已知ABCD是直角梯形,,. (1)证明:; (2)若,求三棱锥的体积. 18.如图,在五面体中,平面平面,四边形为直角梯形,其中,,,,.求证:. 19.如图,在正方体中,点P,Q分别为棱AD,的中点,求证:. 20.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小. 21.如图,在四棱锥中,底面,分别为的中点. (1)证明:平面; (2)求三棱锥的体积. 22.如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,,是的中点. (1)求证:平面平面; (2)若,三棱锥的体积为,求四棱锥 ... ...
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