1.2空间向量基本定理、1.3.2 空间向量运算的坐标表示-人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示 【要点梳理】 要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理： 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc 2．基底、基向量概念： 由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 要点二、空间向量的坐标表示 （1）单位正交基底 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示 （2）空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； （3）空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）． 在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标． 要点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 （2）向量加减法、数乘的坐标运算 若，，则：①； ②； ③； （3）向量数量积的坐标运算 若，，则：； 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，，则 ①，． ②． 要点诠释： （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 (2) (3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （5）空间向量平行和垂直的条件 若，，则 ①，， ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【典型例题】 类型一、 空间向量的坐标表示 例1. 如下图，已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E、F分别是侧棱PA、PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点A、B、C、D、P、E、F的坐标． （1）如下图甲，以O为坐标原点，分别以射线DA、DC、OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系； （2）如下图乙，以O为坐标原点，分别以射线OA、OB、OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 【解析】（1）所以，所以向量的坐标为（1，1，0），即点B的坐标为B（1，1，0） 同理可得A（1，－1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0）． 又点P在z轴上，所以，向量的坐标为（0，0，2），即点P的坐标为P（0，0，2） 因为F为侧棱PB的中点，所以， 所以点F的坐标为，同理点E的坐标为． 故所求各点的坐标分别为： A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，O），D（－1，－1，0），P（0，0，2），，； （2），即点A的坐标为， 同理可得，， ，P（0，0，2）， 因为E为侧棱PA的中点， 故，所以点， 同理点 故所求各点的坐标分别为： ，，，， P（0，0，2），， 举一反三： 【变式1】已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。 【答案】∵C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点， ∴F（0，1，0）。 又∵ ... ...