中小学教育资源及组卷应用平台 2024鲁教版五四制数学九年级下学期 圆 专项素养综合全练(六) 圆中的跨学科问题 类型一 跨物理学科 1.摩天轮是游乐园中受欢迎的游乐设施之一,某摩天轮可以看成由一个大圆和六个全等的小圆组成,如图,大圆绕着圆心O匀速旋转,小圆的顶部挂点(如点P,N)均匀分布在大圆圆周上,由于重力作用,挂点和小圆圆心连线(如PQ)始终垂直于水平线l. (1)∠NOP= °; (2)若OA=16,☉O的半径为10,小圆的半径都为1,解答下列问题: ①在旋转一周的过程中,圆心M与l的最大距离为 ; ②当圆心H到l的距离等于OA的长度时,OH的长为 ; ③在旋转过程中,MQ的长为定值,则这个定值为 . 类型二 跨体育与健康 2.(2022河南中考)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环☉O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内.当推杆AB与铁环☉O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果. (1)求证:∠BOC+∠BAD=90°; (2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动,图中点B是该区域内最低位置,此时点A到地面的距离AD最小,测得cos∠BAD=,已知铁环☉O的半径为25 cm,推杆AB的长为75 cm,求此时AD的长. 类型三 跨生物学科 3.(2023山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.下图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为( ) A.(3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3) 答案全解全析 1.答案(1)60 (2)①25 ②3 ③10 解析(1)∠NOP==60°. (2)①当圆心M在AO的延长线上时,圆心M与l有最大距离,最大距离为10-1+16=25. ②如图,设☉H的挂点为K,过点K作KT⊥l于点T,连接OH. ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l, ∴K,H,T在同一直线上. ∵HT⊥l,OA⊥l,∴HT∥OA.又∵HT=OA, ∴四边形HTAO是平行四边形. 又∵∠OAT=90°,∴四边形HTAO是矩形. ∴∠OHT=90°.∴∠OHK=90°. ∴OH===3. ③如图所示,连接PN,MQ,MN. 由(1)知∠NOP=60°,又∵ON=OP=10, ∴△NOP是等边三角形. ∴PN=ON=OP=10. ∵小圆的半径都为1,挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l, ∴MN=PQ=1. 当P、Q、N、M共线时,易知MQ=PN=10; 当P、Q、N、M不共线时,MN∥PQ, 此时四边形MNPQ是平行四边形, ∴MQ=PN=10. 故MQ的长为定值10. 2.解析(1)证明:证法一:如图1,过点B作EF∥CD,交AD于点E,交OC于点F. 图1 ∵CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°. ∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°. ∵EF∥CD, ∴∠OFB=∠OCD=90°,∠AEB=∠ADC=90°. ∴∠BOC+∠OBF=90°,∠ABE+∠BAD=90°. ∵AB为☉O的切线,∴∠OBA=90°. ∴∠OBF+∠ABE=90°.∴∠OBF=∠BAD. ∴∠BOC+∠BAD=90°. 证法二:如图2,延长OB交CD于点M. 图2 ∵CD与☉O相切于点C, ∴∠OCM=90°.∴∠BOC+∠BMC=90°. ∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°. ∵AB为☉O的切线,∴∠OBA=90°. ∴∠ABM=90°. ∴在四边形ABMD中,∠BAD+∠BMD=180°. ∵∠BMC+∠BMD=180°,∴∠BMC=∠BAD. ∴∠BOC+∠BAD=90°. (2)如图1,在Rt△ABE中, ∵AB=75 cm,cos∠BAD=, ∴AE=AB·cos∠BAD=45(cm). 由(1)知,∠OBF=∠BAD,∴cos∠OBF=. 在Rt△OBF中, ∵OB=25 cm,∴BF=15 cm.∴OF=20 cm. ∵OC=25 cm,∴CF=5 cm. ∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°, ∴四边形CDEF为矩形.∴DE=CF=5 cm. ∴AD=AE+ED=50(cm). 3.A 如图,设中间正六边形的中心为D,连接DB. ∵点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),图中是7个全等的正六边形, ∴AB=BC=2,OQ=3. ∴OA=OB=.∴OC=3. ∵∠ODB=60°,∴ ... ...
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