4.3.1等比数列的判定及性质（第二课时） 课件（共34张PPT）

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算； 3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养 01 复习导入 复习回顾 1.等比数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0） 2.等比数列通项公式是什么？ 02 等比数列的性质 新知探究 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们观察图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数： ????1=1 , ????2=3 , ????3=9 , ????4=27 , ????5=81 , … .可以知道，这些数构成等比数列. ? 新知探究 思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？ 探究：????1=1 , ????2=3 , ????3=9 , ????4=27 , ????5=81 , ????6=243, ????7=729 …这些数构成等比数列.说出9是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律。 ? 可以得到：272=9×81=3×243=1×729 ∴可得到 猜想：等比数列????????中，已知????+????=????+????(????,????,????,????∈?????)，????????????????=????????????????. ? l 新知探究 等比数列????????中，已知????+????=????+????(????,????,????,????∈?????)，证明????????????????=????????????????. ? l 证明：∵设等比数列{????????}的首项为????1，公比为????，则 ? ????????????????=(????1?????????1)(????1?????????1)=????12????????+?????2， ? 而????+????=????+????，∴????????????????=????????????????. ? ????????????????=(????1?????????1)(????1?????????1)=????12????????+?????2， ? 若{????????}是等比数列，公比为????，正整数????,????,????,????满足????+????=????+????， 则????????????????=????????????????.特别地，当????+????=2????(????,????,????∈?????)时，????????????????=????????2. ? 新知探究 ① 特别地，当 m+n=2k（????,????,????∈?????）时，????????????????=????????2 ? ② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 ????1????????=????2?????????1=?=?????????????????????+1=? ? 等比中项的推广： 等比数列{????????}中，若????+????=????+????，则????????????????=???????????????? ? 即：下标和相等，对应项的积相等 新知探究 新知探究 新知探究 练习1.在等比数列{an}中，若a2a8＝9，则a3a7＝(　　)A．3 B．±3 C．9 D．±9 B 解∵2＋8＝3＋7，∴a3a7＝a2a8＝9. 练习2.等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为_____． 解：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 ＝－217. 新知探究 新知探究 例2.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1 ＝1，b2 ＝ 5，b3 ＝ 17.求数列{bn}的通项公式． 新知探究 新知探究 例3.已知等比数列 {????????} 的各项都是正数，且 ????1 ， 12????3 , 2????2 成等差数列，则 ????9+????10????7+????8= ( ). A. 3+22 B. 1?2 C. 1+2 D. 3?22 ? A 解： ∵????1 ， 12????3 , 2????2 成等差数列， ∴????3=????1+2????2 . ∴????1????2=????1+2????1???? ，即 ????2?2?????1=0 ， ∴????=1±2 . ∵????????>0 ， ∴????=1+2 . ∴????9+????10????7+????8=(????7+????8)????2????7+????8=????2=(1+2)2=3+22 . ? 新 ... ...