数学(理科)参考答案 一、选择题: 1-5 CCCDD 6-10 CBABB 11-12 CD 7 二、填空题:13.乙; 14.3 3 ; 15. ; 16.4 2 2. 2 三、解答题(共 70 分.) 17 3.【解析】:(Ⅰ) t sin2 (0,1], g(t) t 2在 (0,1]单调递减, a1 2……………2分t 数列{an}为等比数列, a1 2,公比 q 0,且 a2+a3 12. 故:12 2q 2q2,解得: q 2或 3(负值舍去),故: a 2 2n 1 2nn .……………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:bn log2 an n, 1 1 1 1 1 1 1 1 所以: ,所以:T , bnbn 1 n(n 1) n n 1 n b1b2 b2b3 b3b4 bnbn 1 1 1 1 1 1 1 n ……………10分 2 2 3 n n 1 n 1 T 49所以:使 n 的 n n 49 的最大值为: , 50 n 1 50 解得: n 49,故: n的最大值为 48.……………12分 18.【解析】: 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 总计 100 60 160 n(ad bc)2K 2 160(20 40 40 60) 2 32 10.667 7.879. ……………5 分 (a b)(c d )(a c)(b d ) 100 60 80 80 3 所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关. ……………6 分 (2)偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中,农村和城市的比例是 3 : 2,所以抽取的 5个样本有 2 个是农村学校,3个是城市学校,抽取 2个,则 X 可能取值为 0,1,2. ……………7分 C0C 2 C1C1 2 P(X 0) 3 6 C 1 2 32 , P(X 1) 2 3 , P(X 2) 2 . C5 10 C 2 5 10 C 2 5 10 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 第 1页 P 3 3 1 10 5 10 X 3的数学期望 E(X ) 0 1 6 2 1 4 . ……………12分 10 10 10 5 19.【解析】:(1)在棱CC1,DD1分别取点M , N,使得QN PM 1, 易知四边形MNQP是平行四边形,所以MN / /PQ ,联结 FM ,MN ,NE,则 AE ND,且 AE / /ND 所以四边形 ADNE 为矩形,故 AD / /NE ,同理, FM / /BC / /AD 且 NE MF AD,故四边形 FMNE是平行四边形,所以 EF / /MN,所以 EF / /PQ 故 E, F , P,Q四点共面 ……………4 分 又 EF / /PQ, EF 平面 BPQ, PQ 平面 BPQ, 所以 EF / /平面 PQB. ……………5 分 (2)以点O 为原点,以OA为 x轴,以OB为 y轴, z 轴过O 且平行 AA1如图建系 ……………6 分 平面 EFPQ中向量 EF ( 2,1,1), EQ ( 2, 1,1), 2x y z 设平面 EFPQ的一个法向量为 (x , y , z ),则 1 1 1 0 1 1 1 , 2x1 y1 z1 0 可得其一个法向量为 n1 (1,0,2), ……………7 分 平面 BPQ中, BP ( 2, 1,a 1), BQ (0, 2,a), 2x y (a 1)z 0 设平面 BPQ的一个法向量为 n (x2 , y2 , z2 ),则 2 2 2 , 2y2 az2 0 所以取其中一个法向量 n2 (a 2,2a,4). ……………9 分 若 | cos n1,n2 | | n 1 n2 | 15 ,则 (a 10)2 (3 5a2 4a 20), 5 (a 2)2 4a2 16 5 即有 7a2 10 4a 20 0, a [1, 3],解得 a 2或- [1,3],所以 a 2 ,CP 3. ……………12 分 7 1 20 c 3.【解析】:(1)因为 B 0,b ,△BF1F2 的面积 S 2c b bc 3 ,且 e ,2 a 2 2 故解得a 2, c x 3,b 1,则 a2 4,b2 1,则椭圆 E 的标准方程为 y2 1……4分 4 (2)假设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 , 第 2页 x2 y2 1, 直线与椭圆联立得 4 消去 y整理得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0, y kx m, x x 8km 4m 2 4 则 1 2 2 , x x ,又因为 B1 2 0,1 ,……………………6分4k 1 4k 2 1 k y 1 1 k y 2 1 k k y1 1 y2 1 kx 1 m 1 x2 kx2 m 1 x1所以 1 x , 2 x ,则 1 2 t,1 2 x1 x2 x1x2 2kx1x2 m 1 x1 x2 即 t,……………………8分 x1x2 2 2k 4m 42 m 1 8km 4k 1 4k 2 1 代入韦达定理得 t,……………………9分 4m2 4 4k 2 1 2k 4m2 4 m 1 8km 2k m 1 2k 即 t,化简得 t,因为m 1,则 t …10分 4m2 4 m2 1 m 1 即2k t m 1 2k 2, 1 m 代入直线得 y kx k 1 k x 2 1,t t t 2 所以恒过 , 1 ,故直线 l经过定点 A 2 , 1 . ... ...
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