1．（2022秋 丰都县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求点的坐标以及面积的最大值． （3）如图3，将点右移一个单位到点，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点代入抛物线， 得， ， 抛物线的解析式为， 在中，令，得， ， 点在抛物线上， 把代入， 得， ， 设直线的解析式为则， ，， ， 解得， 直线的解析式为． （2）过点作轴，交直线于点， 设为，则为， ， 面积：， ， 当时，面积的最大值为9， 此时，点的坐标为． （3）抛物线， 当时，有最大值， ， 抛物线对称轴为， ， 点右移一个单位到点， ， ，， 直线解析式为， 直线与抛物线的交点为， 另一交点设为，则， 抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点， 抛物线向左平移了4个单位，向上平移了4个单位， 新抛物线， 对称轴为， 顶点， 设， 则，，， 假设是等腰三角形，则分三种情况讨论： 当为顶点时，由得， ， 或， 或， 当为顶点时，由得， ， 或， 或， 当为顶点时，由得， ， ， ， 存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或或． 2．（2023春 小店区期末）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，，．将从图1的位置开始绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为点，，旋转角为． 操作思考：（1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点时的图形．求此时旋转角的度数； （2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点作的平行线交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿射线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．若，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【解答】解：（1）如图2，绕点顺时针旋转得到△， ， ，， ， 是等边三角形， ， 即； （2）猜想：， 理由：如图3，作于点， 设，则， ， ， ， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 在中，， ； （3）①如图4，延长，作于点，连接，，， ，，， ，， ，且是等边三角形， ， ，， ， 在中，， 沿射线的方向平移得到， ， ， ， ，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形， ， 在△中，， ， ②如图5，连接并延长交于点，连接，， 由①得，，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形， ， 在△中，， ， 综上所述，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为或． 3．（2023 济南模拟）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接， 若，求的值； （3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 如答图1，当点在轴上方时， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ， 综合以上可得的值为； （3）抛物线平移后得到，且顶点为， ， 即． 设 ... ...
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