考点19 三角函数的概念及变换(讲) (原卷版+解析版)

考点19 三角函数的概念及变换 【考纲要求】 ①了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 ②理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算 ③理解任意角的三角函数的概念，记住三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值 ④掌握同角三角函数两个基本关系式、诱导公式，会运用它们进行运算、化简 ⑤会根据已知三角函数值求角(0～2π内特殊角) ⑥掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，会用它们进行运算、化简 【考向预测】 1．三角函数定义的理解，三角函数值的符号判断． 2．同角三角函数的关系与诱导公式用于化简或求值． 【本节内容结构】 【知识清单】 1．任意角的三角函数 (1)设角α为任意角，P(x，y)是角α终边上除顶点外的任一点，设点P与原点的距离为r，则角α的三个三角函数的定义如下： sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_____. (2)任意角α的三角函数在各象限的符号，见下表： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sinα ＋ ＋ － － cosα ＋ － － ＋ tanα ＋ － ＋ － (3)特殊角的三角函数值，见下表： α 0 π sinα 0 1 0 cosα 1 0 1 tanα 0 1 不存在 0 2．扇形的弧长公式，面积公式：S＝r＝. 3．同角三角函数的两个基本关系式为_＋＝1_、____. 4．含有同角三角函数式求值与化简的常用方法 (1)化切为弦：tanα＝__； (2)sinα·cosα与sinα±cosα之间的联系：＝__1±2sinαcosα__. 5．诱导公式 sin(2kπ＋α)＝____，cos(2kπ＋α)＝___，tan(2kπ＋α)＝__tanα_. sin(－α)＝__，cos(－α)＝___，tan(－α)＝__tanα_. sin(π＋α)＝__，cos(π＋α)＝__，tan(π＋α)＝_tanα__. sin(π－α)＝___，cos(π－α)＝__，tan(π－α)＝__tanα_. sin＝___，cos＝___.sin＝____，cos＝__. 6．两角和与差的三角函数 ①sin(α＋β)＝__sinαcosβ＋cosαsinβ_，②sin(α－β)＝_sinαcosβ－cosαsinβ_， ③cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ_，④cos(α－β)＝_cosαcosβ＋sinαsinβ_， ⑤tan(α＋β)＝__，⑥tan(α－β)＝__. 7．二倍角公式 sin 2α＝_2sin αcos α_； cos 2α＝___＝_2－1_＝_1－2_； tan 2α＝__. 8．变形公式 cos 2α＝1－2 ＝__，＝__； cos 2α＝2－1 ＝__，＝__. 【考点分类剖析】 考点一三角函数的基本概念 【例1】2023°是(　C　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【思路点拨】本题考查的是终边相同的角，2023°＝223°＋5×360°. 【举一反三1】下列各角中，与角的终边相同的角是(　D　) B． C． D． 【提示】与角α终边相同的角满足β＝α＋2kπ(k∈Z). 【例2】如果角β的终边经过点P(－3，－4)，则sinβ＋cosβ＋tanβ的值为(　B　) A． B．－ C． D．－ 【思路点拨】　本题考查的是三角函数的定义，应明确题中的x，y，r. ∵x＝－3，y＝－4，r＝＝5， ∴∴sinβ＋cosβ＋tanβ＝ 【变式训练2】　设a<0，若点P(－3a，4a)在角α的终边上，则sinα＋2cosα＝_____. 【提示】本题考查三角函数的定义，根据题意可得r＝－5a，进而可得sinα，cosα的值，从而求得结果． 【例3】已知角α的终边在函数y＝2x(x≤0)的图像上，求cosα和tanα的值． 【思路点拨】根据三角函数的定义，可在角α的终边上取点．由于x≤0，可取点P(－1，－2)，根据三角函数的定义即可求． 【解】∵终边在函数y＝2x(x≤0)的图像上， ∴取点P(－1，－2)，则r＝， ∴ 【变式训练3】已知角α的终边在直线y＝－x上，求sinα，cosα，tanα的值． 【提示】角α的终边落在某直线上，一般要分类讨论，可通过终边所在象限或横坐标的正负进行讨论取点． 【解】∵角α的终边在直线y＝－x上，∴角α的终边可以在第二象限也可以在第四象限． 若α是 ... ...