2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科） 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1.已知（为虚数单位），则复数=（ ） A. B. C. D. 2.设A,B是两个集合，则””是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( ) A. B. C. D. 4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 5.设函数，则是（ ） A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ） A. B. C.6 D-6 7.在如图2所示的正方形中随机投掷100 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)00个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ） A. B. C. D. 10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. . 12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 . 14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 . 15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 . 三、解答题 16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： （1）； （2） (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) （Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值. （Ⅲ）设，且. （1）； （2）与不可能同时成立. 17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》 (1)证明： （2）求的取值范围 18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望. 19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上. （1）若P是的中点，证明：； （2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积. (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程； （2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向 （ⅰ）若，求直线的斜率 （ⅱ）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形 21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明： （1）数列是等比数列 （2）若，则对 ... ...
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