专题三 函数及表示 1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的三要素 函数的三要素是：定义域，对应关系（解析式），值域. (1)定义域的求法：函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0；对数的真数大于0；偶次根式下的被开方数大于或等于0；0的0次幂没有意义等． (2)求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法等. (3)解析式的求法：待定系数法、换元法、方程(组)法、配凑法等. 3．相等函数 两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形). 4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 一 、求函数的定义域 1．函数的定义域为（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】根据题意得，解得，且，所以函数的定义域为且，故选：D. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，故，解得，故的定义域为，故选：B. 3．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得且，所以函数的定义域是，故选：C. 二 、求函数的值域 4．函数在区间上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为反比例函数在上单调递减，函数的图像可由的图像向右平移一个单位后得到，所以函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，所以，即，故选：C. 5．二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：，则，所以函数在此区间上的值域为，故选：A. 三 、求函数的解析式 6．设函数，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，故选：B. 7．已知是一次函数,且满足,则（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是一次函数,所以设，由,得. 整理得，所以,解得，故选：A. 8．定义域为的函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义域为的函数满足，所以有，即，所以，得，故选：D. 四 、判断相同函数 9．下列函数中，与 是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； 对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数； 对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数， 故选：B. 10．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A ... ...
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