专题7 等差数列 学案 (原卷版+解析版)

专题7 等差数列 【题型01 等差数列的概念】 【题型02 等差中项】 【题型03 数列的前n项和】 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （3）通项公式的推广：． （4）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （5）等差中项的推广：在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （6）等差数列的前项和公式 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．其前项和． 【题型01 等差数列的概念】 【典例1】已知等差数列的通项公式，则等差数列的公差（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，即可得到公差. 【详解】因为等差数列的通项公式，则， 则公差. 故选：A 【典例2】数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，数列是公差为的等差数列，即可求得的值. 【详解】因为数列满足，， 所以，数列是公差为的等差数列，故. 故选：C. 【题型02 等差中项】 【典例1】在等差数列中，，则的值为（ ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】由等差数列的性质计算即可得. 【详解】在等差数列中，，则，因此． 故选：A． 【典例2】在等差数列中，，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 【题型03 等差数列的 前n项和】 【典例1】设数列的前项和为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用公式进行求解即可. 【详解】由于数列的前项和， 所以，， 所以. 故选：A 【典例2】已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．22 B．33 C．44 D．55 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质求解即可. 【详解】根据等差数列求和公式及等差数列性质可得， ，又， . 故选：B. 练 习 一、单选题 1．已知等差数列中，，，则公差等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】等差数列中，，，于是，所以. 故选：D 2．数列中，，，则（ ） A．230 B．210 C．190 D．170 【答案】D 【分析】借助等差数列的定义及相关公式计算即可. 【详解】由题知数列是公差为的等差数列，. 故选:D. 3．已知数列为等差数列，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列性质得到，，求出公差，得到答案. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 故等差数列的公差为， 故. 故选：C 4．在等差数列中，若，则公差（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式列出方程组求解即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 5．在等差数列中，，则（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以，所以. 故选：C. 6．在等差数列中，，公差，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用等差数列的通项公式求解. 【详解】， 故选：D． 7．是等差数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】D 【分析】应用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为此等差数列的公差，，即， . 故选：D 8．在等差数列中，前n项和为，已知，则（ ） A．5 B．11 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求得公差，结合即可求解. 【详解】因为，所以，等差数列的公差， 所以， 所以. 故选：D 9．已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等差数列 ... ...