2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（1）

2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编 解答题（1） 江苏泰州鸣午数学工作室 编辑 1. （2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB. （1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数； （2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形； （3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB. 【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°. ∵D为OP的中点，∴OD=. ∴cos∠BOD=. ∴∠BOD=60°. ∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB. ∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°. （2）证明：由（1）知，CD=BD， ∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）. ∴CK=BP，∠OPB=∠CKD. ∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK. ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP. 又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK. ∴四边形AGCK是平行四边形. （3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB. ∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD. ∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH. 又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）. ∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥AB. 【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定. 【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°. （2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证. （3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥AB. 2.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)； （2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)； （3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°=，sin15°=) 【答案】解：（1）；. （2）如答图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF. ∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°.∴sin15°=. 又∵NC=x，sin15°=，∴. ∴NE=DF=. ∴点N到AD的距离为cm. （3）∵NC=x，sin75°=，且sin75°=∴， ∵PD=CP=，∴PF=. ∴· 即. ∴当时，y有最大值为. 【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用. 【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB=BC=4，∴. ∵∠ADC=90°，∠CAD=30°， ∴. （2）作辅助线“过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F”构造直角三角形CNF，求出FC的长，即可由NE=DF=FC+CD求解. （3）由列式，根据二次函数的最值原理求解. 3. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动. （1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD； （3）如图3，当AB和DE重合时，求证：. 【答案】解 ... ...