专题十 平面向量 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 3．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 5．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 6．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 7．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 一 、向量的基本概念及线性运算 1．下列命题中正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量 C．若，则 D．任意向量的模都是正数 【答案】B 【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误； 对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，而与不一定平行，故C错误； 对于D，零向量的模长是，故D错误， 故选：B. 2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误， 故选：C. 3．下列各式化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确； 故选：D． 二 、向量共线定理及坐标表示 4．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】向量，，而与共线，则，解得，所以实数的值为，故选：C． 5．已知，，，若，则锐角等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【解析】因为，，所以，又因为，且， 所以，即，所以，故选：C. 6．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数 （ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】，．向量，，，， 是平面上的两个不共线向量，，，故选：B． 三 、向量的数量积 7．设，，，则（ ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以，故选：B. 8 ... ...
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