复习讲义：专题06幂指对函数的图象与性质（1）2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）（含解析）

专题06 幂指对函数的图象与性质（1）-【寒假自学课】（苏教版2019） 专题06 幂指对函数的图象与性质 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为当n是偶数， ①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识点2 对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式. （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN（a>0，且a≠1）； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N （a>0，且a≠1）. 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga（M·N）＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM（n∈R） 3、换底公式 （1）logab＝（a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0） 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数. （2）换底公式的三个重要结论 （1）logab＝； （2）logambn＝logab； （3）logab·logbc·logcd＝logad. 知识点3 幂函数的图象与概念 1、幂函数的概念与图象 （1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． （3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象（如图）． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增； （3）如果α＜0，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点4 指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域. 知识点5 对数函数的图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 （0，＋∞） 值域 R 过定点 过定点（1，0），即x＝1 ... ...