【精品解析】2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练培优题

2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练培优题 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂径定理 【解析】【分析】先根据圆周角定理可得∠COE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE的长，最后根据垂径定理即可求得结果. ∵∠CDB=30° ∴∠COB=60° ∵CD⊥AB ∴∠OCE=30° ∵ ∴ ∴ 故选B. 【点评】解题的关键是熟练掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半. 2．（2023九上·章贡期中）如图，是的内接三角形，且AB是的直径，点P为上的动点，且，的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（　　） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理 【解析】【解答】解：过作于，延长交于， 则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值等于， ∵，， 的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴点到距离的最大值是， 故答案为：C. 【分析】根据三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形求解。过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值等于，解直角三角形即可得到结论． 3．（2023九上·巧家期中）下列语句，错误的是（　　） A．直径是弦 B．过圆心的弦是直径 C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】D 【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：A：直径是弦，正确，不符合题意。 B：过圆心的弦是直径，正确，不符合题意。 C：平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，不符合题意。 D：相等的圆心角所对的弧相等，错误，等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 故答案为：D 【分析】根据弦与直径的关系、垂径定理、圆心角定理解题即可。 4．（2023九上·廊坊期中） 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂径定理的应用 【解析】【解答】如图所示： 根据题意可得：DE=2，BC=8，OD⊥BC， 设圆形的半径为r，则OE=r-2， 在Rt△COE中，CE2+EO2=CO2， ∴42+（r-2）2=r2， 解得：r=5， 故答案为：B. 【分析】设圆形的半径为r，则OE=r-2，利用勾股定理可得42+（r-2）2=r2，再求出r的值即可. 5．（2023九上·东光期中）如图，某大桥的桥拱可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．40m B．45m C．50m D．60m 【答案】C 【知识点】勾股定理；垂径定理的应用 【解析】【解答】如图所示： 根据题意可得：OC⊥AB，BD=AD=AB=150，OB=OC=250， 设CD=x，则OD=250-x， 在Rt△BOD中，OB2=BD2+OD2， ∴2502=1502+（250-x）2， 解得：x=50， ∴这些钢索中最长的一根为50m， 故答案为：C. 【分析】设CD=x，则OD=250-x，利用勾股定理可得2502=1502+（250-x）2，再求出x的值即可. 6．（2023九上·三台期中）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（　　） A．12.5 B．13 C．25 D．26 【答案】D 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】解：如图： 连接AO， ∵ CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E ， ∴AE=AB=5， 设OA=OC=x，则OE=x-1， 在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA2， ∴25+(x-1)2=x2， 解得：x=13. ∴CCD=2CO=26. 故A，B，C错误，D正确. 故答案为：D. 【分析】连接AO，先求AE，设CO=x，在根据勾股定理建立方程求出x即可. 7．如图所示，在中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点.若的半径为，则BC的长是（　　）. A． B． ... ...