广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷（含答案）

中山纪念中学2024届高三第二次调研 数学 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（ ） A． B．4 C． D．2 3．如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ） A．在水面下 B．在水面上 C．恰好开始入水 D．恰好开始出水 4．中，为中点，设向量，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ） A． B． C．或 D．或 8．已知，则实数的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（ ） A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为 C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169 10．设，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A．有最小值 B．没有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 11．已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为 D．直线过定点 12．已知定义在上的连续函数，其导函数为，且，函数为奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 14．已知正项数列满足，则 . 15．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 16．若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的最大值为 ． 四、解答题（共70分） 17．（本题10分）已知函数的最小正周期为. (1)求在上的单调增区间； (2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围. 18．（本题12分）记为数列的前项和，若，. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 19．（本题12分）如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 20．（本题12分）盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回． (1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为．求随机变量的分布列和数学期望． (2)若盒中有4个红球和4个白球，盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从号盒中摸出一个球并放入号盒，然后丁从号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率． 21．（本题12分）已知椭圆的上顶点为，左 右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标. 22．（本题12分）已知函数在处的切线方程为，且对任意，都有恒成立. (1)求函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)求证：； (3)若，求正整数的最小值. 参考答案： 1． ... ...