2.2双曲线 练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（含解析）

2.2 双曲线 练习 一、单选题 1．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，且，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 2．双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 3．已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线右支上存在点，使得线段被直线垂直平分，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的一条渐近线交于点．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．由双曲线的两渐近线所成的角可求其离心率的大小，初中学习的反比例函数的图象也是双曲线，据此可求得曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 6．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有_____条. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为3 10．已知双曲线C的方程为，则（ ） A．双曲线C的焦点坐标为， B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为1 11．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ） A． B． C．的离心率为 D．的渐近线方程为 三、填空题 12．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则 . 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 14．已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为 . 四、解答题 15．己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． (1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 16．已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 17．已知双曲线的焦距为，点在上. (1)求的方程； (2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值. 18．根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 19．双曲线：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，， (1)求证： (2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围． 参考答案 1．B 【分析】由题意结合勾股定理的逆定理可得，结合双曲线的对称性可得，即可得，由斜率与倾斜角的关系可得，即可得离心率. 【详解】 由，，故， 则有、、，又， 故，又，故， 则，则， ，故， 即，即， 即，则. 故选：B. 2．A 【分析】根据双曲线的标准方程，写出顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】因为双曲线的上顶点为，渐近线方程为， 所以双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为. 故选：A. 3．A 【分析】由已知可证，，可得，再根据三角形性质可得解. 【详解】 如图所示， 设直线交于， 连接，， 由已知线段被直线垂直平分， 可知，， 所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 又直线的斜率为， 可得，所以， 所以， 由双曲线定义可知，即， 所以， 整理可得， 故选：A. 4．C 【分析】求出直线与渐近线交点，利用得出关系，即可得解. 【详解】联立，可解得 ... ...