7.3 数列求和综合 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： ； ； 指数型； 对数型. 等 4．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 考点1 分组求和 【例1】．在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形得到，得到结论； （2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得. 【详解】（1）（且）， （且）， ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）是首项为2，公比为2的等比数列， ，故， . 【变式1-1】已知数列满足 (1)令，求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义判断，即可证明； （2）根据题意，结合分组求和法，再由等差数列求和以及等比数列求和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴数列是以首项为，公比为等比数列； （2）由（1）可知：， ∴， 从而 故. 【变式1-2】已知数列满足，． (1)记，证明：是等比数列，并求的通顶公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意得，所以是等比数列，根据等比数列的通项公式即得 （2）由（1）的结论和求出的通顶公式，再由分组求和即得. 【详解】（1）由，得，又， ，且， 所以是等比数列， （2）由（1）得，得， 所以， 即 【变式1-3】已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）分组求和方法求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. （2）由（1）知， 所以 . 【变式1-4】已知等差数列的前n项和为 ，且满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足 求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则， 解得，故； （2）由（1）可得， 故 . 考点2 裂项相消求和 【例2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列递推式可得当时递推式，和已知等式相减即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案. 【详解】（1）由题意得，① 当时，，② 由①-②得，即， 又时，，满足上式， 综上，. （2）由（1）可得， 故， 设数列的前项和为， 所以 . 【变式2-1】在等差数列中，是它的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设出等差数列的公差，根据条件列出两个方程，解之得首项与公差，继而写出数列的通项公式； （2）将所求新数列的通项化简成，再根据裂项相消法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，由可得：①， 由可得：，整理得：②， 联立①②可解得：， 故数列的通项公式为：. （2）由（1）得，不妨设， 则， 故. 【变式2-2】已知数列是 ... ...
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