8.1 空间几何体的结构及表面积体积计算 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.球的表面积和体积公式 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 5.球的切接概念 空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球 空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球 6.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 4.墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 7.侧棱垂直与底面-垂面型 8.内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 考点1 棱长与表面积 【例1】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出上下底面的面积，作出辅助线，得到母线长，从而得到圆台的表面积. 【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为， 由图形可得，， 母线与下底面所成的角为，故， 故圆台的母线长为2，所以侧面积为， 所以该圆台的表面积为． 故选：C． 【变式1-1】某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为. 又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长. 所以圆锥的侧面积为， 解得. 故选：D 【变式1-2】若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得， 所以该圆锥的高为. 故选：A 【变式1-3】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（ ） A． B． C．32，24 D．32，6 【答案】A 【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果. 【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影， 结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为， 所以正四棱锥的体积为， 侧面积为. 故选：A. 【变式1-4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先 ... ...
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