8.3 空间中的垂直关系 空间中的垂直关系 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 考点1 垂直关系的判断 【例1】已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直. 【详解】A选项，如图1，满足，，但不垂直，A错误； B选项，如图2，因为， 所以作平面，使得，且， 则， 因为，则，又，故，B正确； C选项，如图3，满足，，但不平行，C错误； D选项，如图4，满足，，，但不平行，D错误. 故选：B 【变式1-1】已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用面面平行、线面垂直的性质可判断B选项；利用面面平行的性质可判断C选项；根据已知条件判断面面位置关系，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，过直线作平面，使得， 因为，，，则， 因为，，则，故，A对； 对于B选项，若，，则，又因为，故，B对； 对于C选项，若，，则，C对； 对于D选项，若，，，则、平行或相交，D错. 故选：D. 【变式1-2】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】 如图所示正方体， 对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误； 对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误； 对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确. 故选：D 【变式1-3】设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可. 【详解】A：若，则或a与b互为异面直线，故A错误； B：若，则或a与b互为异面直线，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，则或或a与b互为异面直线或a与b相交，故D错误. 故选：C 【变式1-4】设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则 C．若，则 D．若，∥，则 【答案】B 【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或． 【详解】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 【变式1-5】已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，， ... ...
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