习题课 空间中距离问题的解法 [学习目标] 1.掌握异面直线间距离的定义及其求法. 2.掌握点到面的距离的定义及其求法. 3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离的定义及其求法． 一、异面直线间的距离 问题1 和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直且相交的直线有多少条？两异面直线的距离该如何定义？ 知识梳理 1．公垂线： 和两条异面直线都_____相交的直线叫做两条异面直线的公垂线． 2．两异面直线的距离： 两条异面直线的_____的长度，叫做两条异面直线的距离． 例1 如图，已知正方体的棱长为a. (1)求异面直线A1B与C1C的距离； (2)求异面直线A1B与B1C1的距离． 反思感悟 求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”———证”———求”的方法． 跟踪训练1 空间四边形ABCD的边长都为10，对角线BD＝8，AC＝16，E，F分别是AC，BD的中点． (1)求证：EF是AC，BD的公垂线段； (2)求出异面直线AC，BD的距离． 二、点到平面的距离 知识梳理 1．点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离． 例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离． 反思感悟 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解． 跟踪训练2 已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离． 三、直线与平面、两平行平面之间的距离 问题2 若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？你能证明你的结论吗？ 知识梳理 1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面_____时，这条直线上_____到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．平面与平面的距离 如果两个平面_____，那么其中一个平面内的_____到另一个平面的距离都_____，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 例3 如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1与平面AB1C间的距离． 反思感悟 直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值． 跟踪训练3 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为_____． 1．知识清单：异面直线间的距离、点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：距离转化不当导致错误． 1. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2，则点A到平面A1BC的距离为( ) A. B. C．2 D. 2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点D1到平面AB1C的距离是( ) A.a B.a C.a D.a 3．线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为( ) A．40 cm B．10 cm C．80 cm D．40 cm或10 cm 4．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于( ) A. B. C. D. 习题课 空间中距离问题的解法 问题1 无数条．仅有1条．两异面直线的距离即为公垂线段的长度． 知识梳理 1．垂直 2．公垂线段 例1 解 (1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即为异面直线A1B与C1C的公垂线， 所以异面直线A1B与C1 ... ...
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